1和歌山県立医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

自然数は正の整数とする。

(1) 与式の両辺に $9$ を加えると $$4xy-12x-3y+9=34$$ となるから、 $$(4x-3)(y-3)=34$$ である。$x\geq 1$ より $4x-3>0$ なので、積が正であることから $y-3>0$ でもある。したがって $d=4x-3$ は $34$ の正の約数で、$d\equiv 1\pmod 4$ を満たす。$34$ の正の約数は $1,2,17,34$ であり、この条件を満たすのは $d=1,17$ である。$d=1$ のとき $(x,y)=(1,37)$、$d=17$ のとき $(x,y)=(5,5)$ となる。いずれも元の左辺はそれぞれ $25$ となるので、解はこの二組である。

(2) 差の平方に因数分解すると $$(3x-2y)(3x+2y)=35$$ である。$x,y\geq 1$ より $3x+2y>0$ であり、積が正なので $3x-2y>0$ でもある。また $3x+2y>3x-2y$ だから、正の約数の組は $(3x-2y,3x+2y)=(1,35)$ または $(5,7)$ に限られる。一方、両因数の差は $4y$ であるから、前者では $4y=34$、後者では $4y=2$ となる。いずれも $y$ は整数にならない。よって自然数の解は存在しない。

(3) 平方完成すると $$9(x+1)^2-4(y-2)^2=65$$ であり、したがって $$\{3(x+1)-2(y-2)\}\{3(x+1)+2(y-2)\}=65$$ となる。ここで $a=3(x+1)-2(y-2)$、$b=3(x+1)+2(y-2)$ とおくと、 $$ab=65,\qquad a+b=6x+6,\qquad b-a=4(y-2)$$ である。$a+b>0$ かつ $ab>0$ より $a,b$ はともに正である。よって可能な順序付きの因数の組は $(a,b)=(1,65),(65,1),(5,13),(13,5)$ である。和と差の式から順に得られる $(x,y)$ は $(10,18),(10,-14),(2,4),(2,0)$ であり、自然数であるものは $(10,18),(2,4)$ である。元の左辺に代入すると、$(x,y)=(10,18)$ では $900+180-1296+288=72$、$(x,y)=(2,4)$ では $36+36-64+64=72$ となる。したがって解はこの二組である。