2和歌山県立医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

直線 $L$ の法線方向は $(15,28)$ である。格子点 $P=(x,y)$ から $L$ に下ろした垂線の足を $Q$ とすると、ある実数 $t$ を用いて $Q=(x-15t,y-28t)$ と表せる。$Q$ は $L$ 上にあるから $$15(x-15t)+28(y-28t)=0$$ であり、したがって $t=(15x+28y)/1009$ である。また $PQ=|t|\sqrt{15^2+28^2}$ なので、 $$\displaystyle \operatorname{dist}(P,L)=\frac{|15x+28y|}{\sqrt{1009}}$$ となる。

(1) 格子点では $15x+28y$ は整数であり、$P$ が $L$ 上にないときはこの整数は $0$ でない。よって $|15x+28y|\geq 1$ である。一方、互除法により $$28=15+13,\qquad 15=13+2,\qquad 13=6\cdot2+1$$ であり、逆にたどると $$1=7\cdot28-13\cdot15$$ を得る。したがって格子点 $(-13,7)$ では $15x+28y=1$ となり、この点は $L$ 上になく、上の下限を達成する。よって求める最小距離は $1/\sqrt{1009}$ である。

(2) (1)の最小距離を与える格子点は $15x+28y=1$ または $15x+28y=-1$ を満たす点である。まず右辺が $1$ の場合、特解 $(-13,7)$ を引くと $$15(x+13)+28(y-7)=0$$ となる。$15$ と $28$ は互いに素なので、$28$ は $x+13$ を割り切る。よってある整数 $k$ に対して $$x=28k-13,\qquad y=7-15k$$ である。$k\leq0$ のとき $x<0,y>0$ だから $|x|+|y|=20-43k\geq20$ であり、等号は $k=0$ のときに限る。$k\geq1$ のとき $x>0,y<0$ だから $|x|+|y|=43k-20\geq23$ である。したがって右辺が $1$ の場合は $(-13,7)$ で絶対値和が最小になる。右辺が $-1$ の場合の解はこれらの点の符号を反転したものなので、同じ最小値を与える点は $(13,-7)$ である。以上より求める座標は $(-13,7),(13,-7)$ である。