2藤田医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

9枚を3行（同じアルファベット）×3列（同じ数字）のマス目に対応させる。選んだカードに同じアルファベットまたは同じ数字の3枚が揃うことは、選んだマスが1行または1列を全て含むことと同じである。得点を $T$ とする。

$T>m$ となるのは、最初の $m$ 枚に完成した行・列がない場合である。その補集合（選ばれなかったマス）は $r=9-m$ 個で、全ての行と列に少なくとも1個ずつ含まれる。包除原理により、そのような補集合の個数を $$\displaystyle S_m=\sum\limits _{i=0}^{3}\sum\limits _{j=0}^{3}(-1)^{i+j}\binom3i\binom3j \binom{(3-i)(3-j)}{9-m}$$ と数える（$i$ 行、$j$ 列を空にする指定を包除し、残る $(3-i)(3-j)$ 個のマスから補集合を選ぶ）。最初の $m$ 枚の集合は全 $\displaystyle \binom9m$ 個から一様に選ばれるので、次の表を得る。 $$\displaystyle \begin{array}{c|rrrrrrrr} m&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline S_m&1&9&36&78&90&45&6&0\\ \Pr(T>m)&1&1&1&\frac{13}{14}&\frac57&\frac5{14}&\frac1{14}&0 \end{array}$$ 従って $$\displaystyle \Pr(T=4)=\Pr(T>3)-\Pr(T>4) =\frac{13}{14}-\frac57=\frac3{14},$$ $$\displaystyle \Pr(T=5)=\Pr(T>4)-\Pr(T>5) =\frac57-\frac5{14}=\frac5{14}.$$

得点の期待値は尾確率の和で $$\displaystyle E[T]=\sum\limits _{m=0}^{6}\Pr(T>m) =1+1+1+\frac{13}{14}+\frac57+\frac5{14}+\frac1{14} =\frac{71}{14}.$$ 確認として、上の差分から得点3,4,5,6,7の確率はそれぞれ $1/14,3/14,5/14,2/7,1/14$ で、合計は1となる。