3弘前大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$$B_n=t_nB_0=(3t_n,4t_n)\quad(t_0=1)$$ とおく。線分 $AB_{n-1}$ を $3:2$ に内分するので $$\displaystyle C_n=\frac{2A+3B_{n-1}}5 =\left(\frac{4+9t_{n-1}}5,\frac{2+12t_{n-1}}5\right) =:(u_n,v_n).$$ 直線 $OB_0$ は $\displaystyle y=\frac43x$。$C_n$ からこの直線に下ろした垂線の傾きは $\displaystyle -\frac34$ だから、$B_n=(3t_n,4t_n)$ として $$\displaystyle v_n-4t_n=-\frac34(u_n-3t_n) \quad\text{すなわち}\quad 25t_n=3u_n+4v_n.$$ これに $u_n,v_n$ を代入すると $$\displaystyle t_n=\frac4{25}+\frac35t_{n-1},\qquad t_n-\frac25=\frac35\left(t_{n-1}-\frac25\right).$$ $t_0=1$ より $$\displaystyle t_n=\frac25+\left(\frac35\right)^{n+1}.$$

$$\displaystyle \text{(1)}\quad t_1=\frac{19}{25}.$$ $OB_0=5$、また $A$ から直線 $OB_0$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|4\cdot2-3\cdot1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=1$$ なので $$\displaystyle [OAB_1]=\frac12(5t_1)\cdot1=\frac{19}{10}.$$

$$\displaystyle \text{(2)}\quad [OAB_n]=\frac12(5t_n)\cdot1 =\frac52\left(\frac25+\left(\frac35\right)^{n+1}\right) =1+\frac{3^{n+1}}{2\cdot5^n}.$$

$$\displaystyle \text{(3)}\quad C_n-B_n=\left(\frac8{25},-\frac6{25}\right), \qquad B_nC_n=\frac{\sqrt{8^2+6^2}}{25}=\frac25.$$ $P$ を $A$ から $OB_0$ に下ろした垂線の足とすると、 $$\displaystyle OB_0:y=\frac43x,\qquad \text{\(A\) を通り \(OB_0\) に垂直な直線}: y-1=-\frac34(x-2)$$ の交点は $\displaystyle P=(6/5,8/5)=\frac25B_0$ である。$AP$ と $B_nC_n$ はともに $OB_0$ に垂直なので平行であり、$A$ から直線 $B_nC_n$ までの距離は $P$ から同直線までの距離に等しい。$OB_0\perp B_nC_n$ よりこの距離は $$\displaystyle PB_n=5\left(t_n-\frac25\right) =5\left(\frac35\right)^{n+1}.$$ したがって $$\displaystyle [AB_nC_n] =\frac12\cdot B_nC_n\cdot PB_n =\frac12\cdot\frac25\cdot5\left(\frac35\right)^{n+1} =\left(\frac35\right)^{n+1}.$$