2島根大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$\vec{u}$=$\overrightarrow{OP}$-2$\overrightarrow{OQ}$,　 $\vec{v}$=2$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$ とおくと、 |$\vec{u}$|=|$\vec{v}$|=1 である。 2$\vec{v}$-$\vec{u}$=3$\overrightarrow{OP}$,　　 $\vec{v}$-2$\vec{u}$=3$\overrightarrow{OQ}$ より、　 $\overrightarrow{OP}$=$\displaystyle \dfrac{2\vec{v}-\vec{u}}{3}$,　 $\overrightarrow{OQ}$=$\displaystyle \dfrac{\vec{v}-2\vec{u}}{3}$. (1) なす角が 0 のとき $\vec{v}$=$\vec{u}$ だから、　 $\overrightarrow{OP}$=$\displaystyle \dfrac{\vec{u}}{3}$ となり、 |$\overrightarrow{OP}$|=$\displaystyle \dfrac{1}{3}$. なす角が $\pi$ のとき $\vec{v}$=-$\vec{u}$ だから、　 $\overrightarrow{OP}$=-$\vec{u}$ となり、 |$\overrightarrow{OP}$|=1. (2) $\overrightarrow{OP}$+2$\overrightarrow{OQ}$=$\displaystyle \dfrac{4\vec{v}-5\vec{u}}{3}$ である。なす角を $\theta$ とすると、 -1$\leq$ $\cos$$\theta$$\leq$ 1 であり、 $\left|\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{OQ}\right|^2$=$\displaystyle \dfrac{16|\vec{v}|^2+25|\vec{u}|^2-40\vec{u}\cdot\vec{v}}{9}$=$\displaystyle \dfrac{41-40\cos\theta}{9}$. したがって $\displaystyle \dfrac{1}{9}$$\leq$ $\left|\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{OQ}\right|^2$$\leq$ 9 である。端の値は $\vec{v}$=$\vec{u}$ または $\vec{v}$=-$\vec{u}$ のときに実現する。任意の単位ベクトル $\vec{u}$,$\vec{v}$ から上式で $\overrightarrow{OP}$,$\overrightarrow{OQ}$ を定めれば条件を満たすので、両端とも実現可能である。よって 　 M=3,　 m=$\displaystyle \dfrac{1}{3}$.