3札幌医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

図の線は，外周の正方形と中心を通る縦横の線である。したがって，$O$ からは $E,F,G,H$ へ移り，各隅の点からは隣り合う2つの中点へ移る。また，中点 $E,F,G,H$ からは，隣り合う2つの隅へ確率 $p$ ずつ，$O$ へ確率 $1-2p$ で移る。

(1) 2回目に $A$ にいる経路は $O\to E\to A$ と $O\to F\to A$ であり，それぞれの確率は $\displaystyle \frac14p$ である。同様に，$C$ にいる経路は $O\to G\to C$ と $O\to H\to C$ で，それぞれの確率は $\displaystyle \frac14p$ である。これらは互いに排反だから， $$\displaystyle \Pr(X_2=A\text{ または }X_2=C)=4\cdot\frac14p=p.$$

(2) 2回で $O$ に戻る経路は $O\to Y\to O$（$Y=E,F,G,H$）である。従って，戻る確率は $$\displaystyle \Pr(X_2=O)=4\cdot\frac14(1-2p)=1-2p.$$ そのうち $E$ を通る経路は $O\to E\to O$ のみで，確率は $\displaystyle \frac14(1-2p)$ である。$\displaystyle 0<p<\frac12$ より分母は正であり，求める条件付き確率は $$\displaystyle \Pr(X_1=E\mid X_2=O) =\frac{\frac14(1-2p)}{1-2p} =\frac14.$$

(3) 4回後に $A$ にいる経路を，2回目の位置で分ける。2回目に $O$ へ戻る確率は $1-2p$ であり，そこからさらに2回で $A$ に着く確率は，$O\to E\to A$ と $O\to F\to A$ を合わせて $\displaystyle \frac p2$ だから，この場合の寄与は $\displaystyle \frac p2(1-2p)$ である。

2回目が隅の点の場合を数える。隅の点から2回で $A$ に着く確率は，出発点が $A,B,C,D$ の順に $$\displaystyle p,\quad \frac p2,\quad 0,\quad \frac p2$$ である。実際，$A$ からは $E,F$ のどちらを経由しても最後に $A$ へ確率 $p$ で移れる。$B$ からは $F$ 経由だけが可能で確率 $\displaystyle \frac12p$，$C$ からは不可能，$D$ からは $E$ 経由だけが可能で確率 $\displaystyle \frac12p$ となる。

$O$ から最初に $E,F,G,H$ のどれに移ったかで分けると，その中点から隅を経て2回後に $A$ に至る確率はそれぞれ $$\displaystyle \begin{array}{c|c} E & p\cdot p+p\cdot\frac p2=\frac32p^2\\ F & p\cdot p+p\cdot\frac p2=\frac32p^2\\ G & p\cdot\frac p2+p\cdot0=\frac12p^2\\ H & p\cdot0+p\cdot\frac p2=\frac12p^2 \end{array}$$ である。最初の移動は各確率 $\displaystyle \frac14$ なので，2回目が隅となる経路の合計は $$\displaystyle \frac14\left(\frac32p^2+\frac32p^2+\frac12p^2+\frac12p^2\right)=p^2.$$ 以上より $$\displaystyle \Pr(X_4=A)=\frac p2(1-2p)+p^2=\frac p2.$$

(4) 出発点 $O$ からの移動では，奇数回後は中点，偶数回後は $O$ または隅にいる。4回後に $A$ にいる経路が，最初の地点 $O$ 以外に $O$ を通るのは2回目だけである。2回目に $O$ に戻った後，さらに2回で $A$ に着く確率は (3) の計算から $\displaystyle \frac p2(1-2p)$。これを $\displaystyle \Pr(X_4=A)=\frac p2$ で割ると， $$\displaystyle \Pr(\text{2回目に }O\mid X_4=A) =\frac{\frac p2(1-2p)}{\frac p2} =1-2p.$$ ここで $p>0$ なので条件事象の確率は正である。