2金沢大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(x)=\sqrt{x}-4$ とおくと、$x>0$ で $$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}<0.$$ したがって $C_1$ は $x>0$ で上に凸である。

(2) $P=(a,\sqrt{a}-4)$（$a>0$）とおく。$F=(1/2,-2)$ に関する対称点は $$Q=(1-a,-4-(\sqrt{a}-4))=(1-a,-\sqrt{a}).$$ ここで $q_x=1-a<1$ とすると $1-q_x=a$ だから $q_y=-\sqrt{1-q_x}$ であり、$Q$ は $C_2$ 上にある。逆に、$C_2$ 上の任意の点 $(q_x,-\sqrt{1-q_x})$（$q_x<1$）に対し $a=1-q_x>0$ とおけば、上の式で得られる $Q$ がその点になる。よって軌跡は $C_2$ 全体である。

(3) $A=(t^2,t-4)$（$t=\sqrt{x_1}>0$）とおく。$C_1$ の接線の傾きは $1/(2t)$ なので、法線 $\ell$ の傾きは $-2t$ である。よって $$\ell:\ y-(t-4)=-2t(x-t^2).$$ これが $F=(1/2,-2)$ を通る条件は $$\displaystyle 2-t=-2t\left(\frac12-t^2\right)=-t+2t^3,$$ すなわち $t^3=1$ である。$t>0$ より $t=1$、したがって $A=(1,-3)$ であり、法線は $y=-2x-1$ となる。 $B$ は $C_2$ 上にもあるから $$-2x_2-1=-\sqrt{1-x_2},\qquad 2x_2+1=\sqrt{1-x_2}.$$ 後式を平方すると $4x_2^2+5x_2=0$、よって候補は $x_2=0,-5/4$ である。平方前の式では $2x_2+1\geq0$ が必要なので $x_2=-5/4$ は不適。$x_2=0$ は元の式を満たし、$y_2=-1$ である。したがって $B=(0,-1)$。

(4) $X_1=(t^2,t-4)$、$X_2=(1-s^2,-s)$（$t>0,s>0$）とおき、$r=t+s$ とする。距離の二乗は $$D=(t^2+s^2-1)^2+(r-4)^2.$$ まず $0<r\leq\sqrt{2}$ なら $$D\geq(r-4)^2\geq(4-\sqrt{2})^2=18-8\sqrt{2}>5.$$ 最後の不等式は $13>8\sqrt{2}$（両辺は正で $169>128$）による。 一方 $r\geq\sqrt{2}$ なら、$(t-s)^2\geq0$ より $t^2+s^2\geq r^2/2$ であり、$r^2/2-1\geq0$ だから $$\displaystyle D\geq\left(\frac{r^2}{2}-1\right)^2+(r-4)^2.$$ さらに $$\displaystyle \left(\frac{r^2}{2}-1\right)^2+(r-4)^2-5 =\frac14(r-2)^2(r^2+4r+12)\geq0.$$ したがって常に $D\geq5$ である。$t=s=1$ とすれば $X_1=(1,-3)$、$X_2=(0,-1)$ となり、両点はそれぞれ $C_1,C_2$ 上にあり距離の二乗は $5$ である。よって最小値は $\sqrt{5}$ である。