3金沢大学 2019年 数学 第3問解答・解説

媒介変数表示から $x=\sin t,\ x+y=\cos t$ である。したがって $C_1$ は $x^2+(x+y)^2=1$ を満たし、その内部は $x^2+(x+y)^2\leq 1$ で表される。$x$ 軸対称な $C_2$ とその内部は、それぞれ $x^2+(x-y)^2=1$、$x^2+(x-y)^2\leq1$ である。

$|x|\leq1$ において $a=\sqrt{1-x^2}$ とおくと、固定した $x$ に対して両図形の内部にある $y$ の範囲は、それぞれ $$-x-a\leq y\leq -x+a,\qquad x-a\leq y\leq x+a$$ である。よって共通部分での縦の長さは $2(a-|x|)$ であり、これは $a\geq |x|$、すなわち $|x|\leq 1/\sqrt2$ のときに限り正となる。したがって $$\displaystyle S=\int_{-1/\sqrt2}^{1/\sqrt2}2\left(\sqrt{1-x^2}-|x|\right)\,dx =4\int_0^{1/\sqrt2}\left(\sqrt{1-x^2}-x\right)\,dx.$$ ここで $x=\sin u$ と置けば、積分区間は $0\leq u\leq\pi/4$ となり、 $$\displaystyle \int_0^{1/\sqrt2}\sqrt{1-x^2}\,dx =\int_0^{\pi/4}\cos^2u\,du =\frac{\pi}{8}+\frac14, \qquad \int_0^{1/\sqrt2}x\,dx=\frac14.$$ ゆえに $\displaystyle S=4\cdot\frac{\pi}{8}=\boxed{\frac{\pi}{2}}$。