3大阪医科薬科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) 実数係数を $c_0,c_1,\ldots,c_n$ として $$f(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0,\qquad c_j\text{ は実数}$$ とおく。複素数の和・積と実数係数の性質から $$f(\overline a)=c_n(\overline a)^n+\cdots+c_1\overline a+c_0 =\overline{c_na^n+\cdots+c_1a+c_0} =\overline{f(a)}=0.$$ したがって $\overline a$ も $f(x)=0$ の解である。

(2) $m=2n+1$ とおき、複素数平面で $$\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{m}+i\sin\frac{2\pi}{m},\qquad z_k=\omega^k\quad(0\le k\le m-1)$$ とする。ド・モアブルの定理より $z_k$ は $z^m=1$ の相異なる解であり、頂点を $A_k$ に対応させると $A_0$ は $z_0=1$、$A_k$ は $z_k$ である。従って $$A_0A_k=|1-z_k|.$$ 多項式 $X^m-1$ はこれらを根にもつので $$\displaystyle X^m-1=(X-1)\prod\limits _{k=1}^{m-1}(X-z_k).$$ また $X^m-1=(X-1)(1+X+\cdots+X^{m-1})$ であるから、$X=1$ とおくと $$\displaystyle m=\prod\limits _{k=1}^{m-1}(1-z_k).$$ 絶対値をとれば $$\displaystyle m=\prod\limits _{k=1}^{m-1}|1-z_k|.$$ $z_{m-k}=\overline{z_k}$ であり、$|1-z_{m-k}|=|1-z_k|$ だから、この積は $$\displaystyle \prod\limits _{k=1}^{n}|1-z_k|^2 =\left(A_0A_1\cdot A_0A_2\cdots A_0A_n\right)^2=L^2$$ に等しい。$L$ は線分の長さの積なので正であり、$L=\sqrt{m}=\sqrt{2n+1}$。