1大阪医科薬科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

放物線 $y=x^2$ の点 $A(a,a^2)$ における接線の方向ベクトルは $(1,2a)$ である。これに垂直な方向ベクトルとして $(-2a,1)$ をとれるので、法線は $$(x,y)=(a,a^2)+t(-2a,1)$$ と表せる。$t=y-a^2$ を代入して $$x+2ay=a+2a^3.$$ この式は $a=0$ のときも $x=0$ となり、原点での法線を表す。

(2) $a\ne b$ のとき、A、Bにおける法線は $$x+2ay=a+2a^3,\qquad x+2by=b+2b^3.$$ これらを引くと $$2(a-b)y=(a-b)+2(a^3-b^3) =(a-b)\{1+2(a^2+ab+b^2)\}.$$ $a\ne b$ より $\displaystyle y=\frac12+a^2+ab+b^2$。これを法線の式に代入すると $$\displaystyle x=a+2a^3-2a\left(\frac12+a^2+ab+b^2\right)=-2ab(a+b).$$ したがって $$\displaystyle P=\left(-2ab(a+b),\frac12+a^2+ab+b^2\right).$$ $b\to a$ とすると $$\displaystyle Q=\left(-4a^3,\,3a^2+\frac12\right).$$

(3) $Q$ を媒介変数 $a$ で表すと $x=-4a^3$、$y=3a^2+1/2$ である。よって $$\displaystyle \frac{dx}{da}=-12a^2,\qquad \frac{dy}{da}=6a.$$ $-1\le a\le1$ における曲線の長さは $$\displaystyle \begin{aligned} L&=\int_{-1}^{1}\sqrt{\left(\frac{dx}{da}\right)^2+\left(\frac{dy}{da}\right)^2}\,da =6\int_{-1}^{1}|a|\sqrt{4a^2+1}\,da\\ &=12\int_0^1a\sqrt{4a^2+1}\,da =\left[(4a^2+1)^{3/2}\right]_0^1 =5\sqrt5-1. \end{aligned}$$ したがって求める長さは $5\sqrt5-1$ である。