7弘前大学 2007年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle f(x)=x^3-3x\text{ とおく。}\text{ 範囲 }1\le x\le2\text{ では }f'(x)=3(x^2-1)\geq 0\text{ で、}f(1)=-2, f(2)=2\text{ だから、}-2\le t\le2\text{ を満たす各 }t\text{ に対し }\alpha\text{ は一意に定まる。同様に }-1\le x\le1\text{ では }f'\leq0\text{ なので }\beta\text{ も一意である。}\\ f(\alpha)=f(\beta)\text{より}(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2-3)=0.\text{ }t=-2\text{ のとき }\alpha=\beta=1.\text{ それ以外では }\alpha>1\text{ かつ }\beta<1\text{ なので }\alpha\ne\beta\text{、したがって }\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2-3=0.\text{ }-1\le\beta\le1\text{ を満たす根を選ぶと}\\ \beta=\frac{-\alpha+\sqrt{12-3\alpha^2}}2.\tag{1}\\ t=f(\alpha)\text{ とおけば }dt=3(\alpha^2-1)d\alpha\text{、また }t=-2,2\text{ に対応する }\alpha\text{ は }1,2\text{ である。よって}\\ I=\int_{-2}^2\frac{\beta}{\alpha}dt=\frac32\left[-\int_1^2(\alpha^2-1)d\alpha+\int_1^2\left(\alpha-\frac1\alpha\right)\sqrt{12-3\alpha^2}d\alpha\right].\\ \int_1^2(\alpha^2-1)d\alpha=\frac43,\qquad \int_1^2\alpha\sqrt{12-3\alpha^2}d\alpha=3.\\ u=\sqrt{4-\alpha^2}\text{ とおくと}\\ \int_1^2\frac{\sqrt{12-3\alpha^2}}{\alpha}d\alpha=\sqrt3\int_0^{\sqrt3}\frac{u^2}{4-u^2}du=\sqrt3\left[\ln\frac{2+u}{2-u}-u\right]_0^{\sqrt3}=2\sqrt3\ln(2+\sqrt3)-3.\\ \text{したがって}\quad I=\frac32\left(-\frac43+3-(2\sqrt3\ln(2+\sqrt3)-3)\right)=7-3\sqrt3\ln(2+\sqrt3).$$