(1)11=3⋅3+2,3=2⋅1+1 より 1=3−(11−3⋅3)=4⋅3−11=3⋅4+11⋅(−1).したがって、例えば (x,y)=(4,−1) は整数解である。(2)3x+11y=1000 なので、11 で割った余りに注目すると 3x≡1000≡10(mod11). (1) の4⋅3−11=1 より4⋅3≡1(mod11) だから、両辺に4 を掛けて x≡40≡7(mod11).よって整数k を用いて x=7+11k と書ける。これを元の式に代入すると y=111000−3(7+11k)=89−3k.逆に、任意の整数k に対し 3(7+11k)+11(89−3k)=1000 である。したがって整数解はすべて (x,y)=(7+11k,89−3k)(k は整数) である。(3)x,y が自然数ならば非負整数なので、上の表示から 7+11k≧0,89−3k≧0. k は整数だから 0≦k≦29.この範囲では x=7+11k≧7,y=89−3k≧2 であり、正の整数を自然数とする場合にも全て条件を満たす。また x−y=14k−82 だから −82≦x−y≦324, よって ∣x−y∣≦324. k=29 のとき (x,y)=(326,2),∣x−y∣=324 となるので、最大値は 324 である。
