8秋田大学 2023年 数学 第8問解答・解説

原点をOとする座標空間において, 点 $P_{n}$, $Q_{n}$, $R_{n} (n = 1, 2, 3, \cdots)$ は以下を満たすとする。

$$\overrightarrow {\mathrm{OP} _ {1}} = (1, 0, 2), \overrightarrow {\mathrm{OQ} _ {1}} = (- 2, 1, 1), \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {1}} = (- 2, - 5, 1),$$

$$\overrightarrow {\mathrm{OP} _ {n + 1}} = \overrightarrow {\mathrm{OP} _ {n}} - 3 \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {n}}, \overrightarrow {\mathrm{OQ} _ {n + 1}} = \overrightarrow {\mathrm{OP} _ {n}} - \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {n}}, \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {n + 1}} = \overrightarrow {\mathrm{OQ} _ {n}} - \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {n}}$$

次の問いに答えなさい。

(i) ベクトル $\overrightarrow{OP_{4}} + \overrightarrow{OQ_{4}} + \overrightarrow{OR_{4}}$ の大きさを求めなさい。

(ii) ベクトル $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{30}(\overrightarrow{\mathrm{OP}_{k}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}_{k}} + \overrightarrow{\mathrm{OR}_{k}})$ を成分で表しなさい。