III日本医科大学 2015年 数学 第III問解答・解説

$L=n+m$ とおく。2曲線の交点は $x=0,L$ であり、領域 $D_n$ では $0\le x\le L$、下側が $x^2-nx$、上側が $mx$ である。

x軸のまわりに回転すると、$0\le x\le n-m$ では下側曲線のx軸からの距離 $nx-x^2$ が $mx$ 以上なので、その半径の円板ができる。$n-m\le x\le n$ では $mx$ が大きい方の半径となり、$n\le x\le L$ では半径 $mx$ と $x^2-nx$ の円環になる。従って $$\displaystyle \frac{V_n}{\pi} =\int_0^{n-m}(nx-x^2)^2\,dx +\int_{n-m}^{n}(mx)^2\,dx +\int_n^{n+m}\bigl((mx)^2-(x^2-nx)^2\bigr)\,dx =\frac{n^5+40m^3n^2+8m^5}{30}.$$ よって $$\displaystyle V_n=\frac{\pi}{30}(n^5+40m^3n^2+8m^5).$$

直線 $y=mx$ を軸にしたとき、点 $(x,y)$ から軸までの垂直距離は $u=(mx-y)/\sqrt{1+m^2}$。軸に平行な薄い面積片 $dA$ を回すと半径 $u$ の薄い円筒殻となり、体積は $2\pi u\,dA$ である。したがって、まずy方向に積分すれば $$\displaystyle W_n=\frac{2\pi}{\sqrt{1+m^2}}\int_0^L\int_{x^2-nx}^{mx}(mx-y)\,dy\,dx =\frac{\pi}{\sqrt{1+m^2}}\int_0^L[x(L-x)]^2\,dx.$$ ここで $\displaystyle \int_0^Lx^2(L-x)^2\,dx=L^5/30$ より $$\displaystyle W_n=\frac{\pi(n+m)^5}{30\sqrt{1+m^2}}.$$ ゆえにmを固定して $n\to\infty$ とすると $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{V_n}{W_n}=\sqrt{1+m^2}.$$

x軸回転では断面を円板・円環に分けます。斜めの境界線を軸とする回転では、軸からの垂直距離uにある小面積片が円筒殻を作ることから体積を積分し、y方向の積分を先に計算して一変数積分に直します。最後にnの最高次の項を比べます。