鳥取大学 2019年数学第II問解答・解説

三角関数積分法

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1問題

鳥取大学2019年度第II問

$0<k<1$ とする。 $\displaystyle 0\leq x<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲において，2つの曲線 $y=\sin 2x$ と $y=2k\tan x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$S=1−k+k ln k$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

交点条件を整理すると $\sin2x=2k\tan x\text{であるための必要十分条件は} 2\sin x(\cos^2x−k)=0,$ ここで $0\le x<\pi/2$ なので $\cos x>0$ 。交点は $x=0$ と $x=\alpha=\arccos\sqrt{k}$ である。 $0<x<\alpha$ では $\cos^2x>k$ なので $\sin2x>2k\tan x$ 。従って $\displaystyle S=\int_0^\alpha(\sin2x−2k\tan x)\,dx =\left[\sin^2x+2k\log(\cos x)\right]_0^\alpha.$ $\sin^2\alpha=1−k$ 、 $\cos\alpha=\sqrt{k}$ より $S=1−k+2k\log\sqrt{k}=1−k+k\log k.$

この問題で使う考え方

三角方程式
交点間の上下関係
定積分による面積

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