III順天堂大学 2021年 数学 第III問解答・解説

agraph{(1)} $$945-378=567=3^4\cdot7.$$ $7$ は $3$ で割り切れないから、$3^4$ は差を割り切るが $3^5$ は割り切らない。従って $n_3(945-378)=4$ であり、 $$\displaystyle d_3(945,378)=3^{-4}=\frac1{81}.$$

agraph{(2)} $x=0$ のときは $d_p(mx,0)=d_p(0,0)=0=d_p(x,0)$ である。$x\ne0$ とし、$k=n_p(x)$ とおく。$p^k$ は $x$ を割り切るので、整数 $u$ を用いて $x=p^k u$ と書ける。$k$ の最大性から $p\nmid u$ である。従って任意の自然数 $m$ について $mx=p^k(mu)$ であり、$p^k$ は $mx$ も割り切る。$mx\ne0$ ならば $n_p(mx)\geq k$ だから、$p>1$ より $$d_p(mx,0)=p^{-n_p(mx)}\leq p^{-k}=d_p(x,0).$$ $m=0$ を自然数に含める場合も、左辺は $d_p(0,0)=0$ となり不等式は成り立つ。等号条件も見ると、$m>0$ のとき $m=p^\ell v$（$p\nmid v$）と書ける。$p\nmid u$ と素数の性質から $p\nmid uv$ なので、$n_p(mx)=k+\ell$ である。従って $x\ne0,m>0$ では等号となるのは $\ell=0$、すなわち $p\nmid m$ のときである。$x=0$ なら常に等号であり、$m=0,x\ne0$ なら不等号は真に成り立つ。以上で示された。

agraph{(3)} まず $x=z$ なら左辺は $0$ であり、右辺は非負なので成立する。$x=y$ または $y=z$ の場合は、定義より右辺の一方の項が $0$、もう一方が左辺に等しいので成立する。

残る場合は $x-y$、$y-z$、$x-z$ がいずれも $0$ でない。ここで $$\displaystyle k=\min\{n_p(x-y),n_p(y-z)\}$$ とおく。$p^k$ は $x-y$ と $y-z$ の両方を割り切るから、その和 $x-z=(x-y)+(y-z)$ も割り切る。従って $n_p(x-z)\geq k$ であり、 $$\displaystyle d_p(x,z)=p^{-n_p(x-z)}\leq p^{-k} =\max\{p^{-n_p(x-y)},p^{-n_p(y-z)}\} \leq p^{-n_p(x-y)}+p^{-n_p(y-z)}.$$ 右端は $d_p(x,y)+d_p(y,z)$ に等しい。よって求める不等式が示された。等号条件を確認する。$x\ne y$ かつ $y\ne z$ なら右辺の2項は正である。$x=z$ の場合は左辺が $0$ なので不等号は厳密であり、$x\ne z$ の場合は上の評価で左辺が2項の最大値以下、その最大値が和より小さい。従って等号が成り立つのは $x=y$ または $y=z$ の場合に限る。