III愛知医科大学 2020年 数学 第III問解答・解説

(1) 自然数は正の整数とする。$x,y>0$ なので、第1不等式に 2xy を掛けて $$xy-2x-2y\le0$$ を得る。固定した x ごとに第1・第2不等式を使って y の範囲を数える。第2不等式から x$\le$7 である。x=1,2 では第1不等式は常に成り立ち、第2不等式から y=1,$\ldots$,7。x$\ge$3 では $$\displaystyle \frac1y\ge\frac12-\frac1x=\frac{x-2}{2x},\qquad y\le\frac{2x}{x-2}.$$ これと x^2+y^2$\le$64 を合わせると、x=1,2 では y=1,$\ldots$,7、$x=3,4,5,6,7$ では y の上限がそれぞれ 6,4,3,3,2 となる。よって $$7+7+6+4+3+3+2=32.$$

(2) $x,y$ は0でない整数である。両方負なら逆数の和は負なので不適。両方正の場合は (1) の32組。符号が異なる場合、例えば $x<0<y$ とすると $$\displaystyle \frac1y\ge\frac12+\frac1{|x|}>\frac12$$ より正整数 $y=1$。さらに第1不等式から 1/x$\ge$-1/2 なので x=-2,-3,$\ldots$,-7。第2不等式 x^2+1$\le$64 も満たし、6組である。反対の符号配置も対称性により6組。したがって整数解は $$32+6+6=44\text{組}.$$