3大分大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) $f'(x)=3x(x-1)$ であるから、$f$ は $x<0$ で増加し、$0<x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。したがって極大点は $\displaystyle (0,\frac32)$、極小点は $(1,1)$ である。また、$\displaystyle f(x)-x=(x+1)(x-1)(x-\frac32)$ より、$y=f(x)$ と $y=x$ の交点は $\displaystyle (-1,-1),(1,1),(\frac32,\frac32)$ である。この因数の符号から、$f(x)-x$ は $x<-1$ と $\displaystyle 1<x<\frac32$ で負、$-1<x<1$ と $\displaystyle x>\frac32$ で正である。さらに、$\displaystyle f(-1)=-1<0<f(0)=\frac32$ であり、$f$ は $x<0$ で増加するので、$x$ 軸との交点は $-1<\alpha<0$ にただ一つある。$x\geq0$ では $f(x)\geq1$ である。これらの点と増減をもとにグラフを描けばよい。 これらの点と増減を図に示す。極大・極小点と変曲点、および $y=x$ との交点を記した。

(2) $\displaystyle 1<x<\frac32$ のとき、$\displaystyle f(x)-1=(x-1)^2(x+\frac12)>0$ であり、$\displaystyle x-f(x)=(x+1)(x-1)(\frac32-x)>0$ である。したがって $\displaystyle 1<f(x)<x<\frac32$ となる。$n=0$ では仮定から $\displaystyle 1<x_0<\frac32$ である。$\displaystyle 1<x_n<\frac32$ と仮定すると、上の不等式より $\displaystyle 1<x_{n+1}=f(x_n)<x_n<\frac32$ となる。よって帰納法により、すべての $n\geq0$ で $\displaystyle 1<x_{n+1}<x_n<\frac32$ であり、特に $x_n>x_{n+1}$ である。　 (3) (2) より $\{x_n\}$ は単調減少で、すべての項が $1$ より大きい。問題文で与えられた性質から $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_n=L$ が存在し、$\displaystyle 1\leq L\leq x_0<\frac32$ である。$x_{n+1}=f(x_n)$ と多項式 $f$ の連続性から、極限をとると $L=f(L)$ となる。したがって $\displaystyle (L+1)(L-1)(L-\frac32)=0$ であり、$\displaystyle 1\leq L<\frac32$ より $L=1$ である。ゆえに $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_n=1$ である。