1旭川医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

問1　$K>0$ で $$\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{K^2+x^2},\qquad f''(x)=\frac{2(K^2-x^2)}{(K^2+x^2)^2}.$$ $x=\pm K$ で二階導関数の符号が変わるので、変曲点の高さは $b=f(\pm K)=\boxed{\log2}$。

問2　$g(x)=b-\sqrt{b^2-x^2}$ より $g'(0)=0$、$g''(0)=1/b$。$K=1$ では $$\displaystyle H'(0)=0,\qquad H''(0)=2-\frac1{\log2}>0.$$ 最後の不等号は $e<3<4$ より $\log2>1/2$ を用いた。従って $x=0$ で極小値をとる。

問3　$t=x^2$ とおき $$\Phi(t)=\log(1+t/K^2)-b+\sqrt{b^2-t}\quad(0\le t\le b^2)$$ とすると $H(x)=\Phi(x^2)$、$\Phi(0)=0$。$0\le t<b^2$ で $$\displaystyle \Phi'(t)=\frac1{K^2+t}-\frac1{2\sqrt{b^2-t}},\qquad \Phi''(t)=-\frac1{(K^2+t)^2}-\frac1{4(b^2-t)^{3/2}}<0.$$ したがって、$t$ が大きくなると $\Phi'(t)$ は必ず小さくなり、右端で $-\infty$ に向かう。 $K\ge\sqrt{2b}$ なら $\Phi'(0)\le0$ なので $t>0$ で $\Phi(t)<0$。これが(C)である。

$K<\sqrt{2b}$ なら $\Phi'(0)>0$ で、$\Phi$ は一度増加した後に減少する。従って全区間で非負となる条件は右端値が非負であること、すなわち $$\Phi(b^2)=\log(1+b^2/K^2)-b\ge0\text{すなわち} K\le b$$ である（$e^b=2$）。これが(A)であり、右端が負なら原点近くの正の値と合わせて(B)となる。$0<b<2$ より $b<\sqrt{2b}$ だから、結論は $$\boxed{\begin{aligned}(A)&:\ 0<K\le\log2,\\(B)&:\ \log2<K<\sqrt{2\log2},\\(C)&:\ K\ge\sqrt{2\log2}.\end{aligned}}$$