4弘前大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) 分母を因数分解して部分分数分解する。 $$\displaystyle x^2-5x+6=(x-2)(x-3),\qquad \frac{x}{(x-2)(x-3)}=-\frac2{x-2}+\frac3{x-3}。$$ よって原始関数は $-2\log|x-2|+3\log|x-3|$。区間内に分母の零点はなく、 $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{x}{x^2-5x+6}\,dx =3\log2-(-2\log3+3\log4)=\log\frac98。$$

(2) 積分を2つに分ける。 $$\displaystyle \int_0^1\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx=\left[-\sqrt{4-x^2}\right]_0^1=2-\sqrt3。$$ もう一方は $x=2\sin\theta$ と置くと、端点は $0,\pi/6$ で、 $$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx=\int_0^{\pi/6}1\,d\theta=\frac\pi6。$$ 従って答えは $2-\sqrt3+\pi/6$。

答え

(1) $\displaystyle \log\dfrac98$。 (2) $\displaystyle 2-\sqrt3+\dfrac\pi6$。