香川大学 2025年数学第1問解答・解説

指数関数・対数関数

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1問題

香川大学2025年度第1問

次の問に答えよ。

(1) $\alpha=\log_{10}2,\ \beta=\log_{10}3$ とおくとき、 $\log_{10}4,\ \log_{10}5,\ \log_{10}6$ をそれぞれ $\alpha,\beta$ を用いて表せ。

(2) $48<7^{2}<50$ であることを利用して、 $0.84<\log_{10}7<0.85$ が成り立つことを示せ。ただし、 $\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$ とする。

(3) $1.03<\log_{10}11<1.05$ が成り立つことを示せ。ただし、 $\log_{10}2,\ \log_{10}3$ は(2)と同じ値とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

対数の積・商・べきの性質と常用対数の単調増加性を用いる。(3)では11^2を120と125の間にはさみ、境界の常用対数を既知のlog_10 2、log_10 3で求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\log_{10}4=2\alpha,\quad \log_{10}5=1-\alpha,\quad \log_{10}6=\alpha+\beta;\qquad 0.84<\log_{10}7<0.85;\qquad 1.03<\log_{10}11<1.05.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) 対数の性質より,}\quad \log_{10}4=\log_{10}2^2=2\alpha,\quad \log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}=1-\alpha,\quad \log_{10}6=\log_{10}(2\cdot3)=\alpha+\beta.\\ \text{(2) }48<7^2=49<50\text{ であり, }\log_{10}x\text{ は増加するから,}\quad \log_{10}48<2\log_{10}7<\log_{10}50.\\ \log_{10}48=4\alpha+\beta=4(0.3010)+0.4771=1.6811,\quad \log_{10}50=2-\alpha=2-0.3010=1.6990.\\ \text{したがって }1.68<1.6811<2\log_{10}7<1.6990<1.70\text{ より, }0.84<\log_{10}7<0.85.\\ \text{(3) }120<11^2=121<125\text{ であり, }\log_{10}x\text{ は増加するから,}\quad \log_{10}120<2\log_{10}11<\log_{10}125.\\ \log_{10}120=\log_{10}(10\cdot3\cdot4)=1+\beta+2\alpha=1+0.4771+2(0.3010)=2.0791,\\ \log_{10}125=3\log_{10}5=3(1-\alpha)=3(1-0.3010)=2.0970.\\ \text{したがって }2.06<2.0791<2\log_{10}11<2.0970<2.10\text{ より, }1.03<\log_{10}11<1.05.$

この問題で使う考え方

対数とその性質
対数関数のグラフ・増減
常用対数

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