3香川大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$$\text{(1)}\quad 2+x^{3}-(1+x+x^{2})=1-x-x^{2}+x^{3}=(1-x)(1-x^{2}).\text{ ここで }0<x<1\text{ より }1-x>0,\ 1-x^{2}>0\text{ だから、} (1-x)(1-x^{2})>0.\text{ よって }1+x+x^{2}<2+x^{3}.\quad \text{(2) }P(n)\text{ を }1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}<n+x^{n+1}\text{ とする。まず }n=2\text{ のときは (1) より }P(2)\text{ が成り立つ。}\quad \text{次に }n\ge 2\text{ とし、}P(n)\text{ が成り立つと仮定する。このとき}\\1+x+\cdots+x^{n+1}=(1+x+\cdots+x^{n})+x^{n+1}<n+2x^{n+1}.\quad \text{また }0<x<1,\ n\ge2\text{ より }x^{n+1}\le x^{3}\text{ かつ }2-x>0\text{ である。したがって}\\1-2x^{n+1}+x^{n+2}=1-x^{n+1}(2-x)\ge 1-x^{3}(2-x)=(1-x)(1+x+x^{2}-x^{3})>0,\\\text{最後の不等号は }1-x>0\text{ および }1+x+x^{2}-x^{3}=1+x+x^{2}(1-x)>0\text{ による。よって }n+2x^{n+1}<n+1+x^{n+2}.\text{ 以上から }1+x+\cdots+x^{n+1}<n+1+x^{n+2}\text{、すなわち }P(n+1)\text{ が成り立つ。}\quad \text{よって数学的帰納法により、すべての }n\ge2\text{ で }P(n)\text{ が成り立つ。}$$