II杏林大学 2024年 数学 第II問解答・解説

(a) 曲線 $\Gamma$ の媒介変数表示を微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{ds}=1-\frac{4e^{2s}}{(e^{2s}+1)^2},\qquad \frac{dy}{ds}=\frac{2e^s(1-e^{2s})}{(e^{2s}+1)^2}$$ を得る。$s=\log_e3$ では $e^s=3$ だから $$\displaystyle P=\left(\log_e3-1+\frac{2}{10},\frac{6}{10}-1\right) =\left(\log_e3-\frac45,-\frac25\right),$$ また $$\displaystyle \left.\frac{dx}{ds}\right|_{s=\log_e3}=\frac{16}{25},\qquad \left.\frac{dy}{ds}\right|_{s=\log_e3}=-\frac{12}{25}.$$ したがって $\Gamma$ の接線の傾きは $-3/4$ であり、法線の傾きは $4/3$ である。点 $P$ を通る法線は $$\displaystyle y+\frac25=\frac43\left(x-\log_e3+\frac45\right),\qquad \therefore\quad y=\frac43(x-\log_e3)+\frac23.$$

(b) $x=\log_e3$ において $$\displaystyle f(\log_e3)=\frac32+\frac16-1=\frac23,\qquad f'(x)=\frac12(e^x-e^{-x}),\qquad f'(\log_e3)=\frac12\left(3-\frac13\right)=\frac43.$$ よって $Q=(\log_e3,2/3)$ であり、点 $Q$ における $C$ の接線の傾きは $4/3$ である。(a) の法線 $\ell$ も傾き $4/3$ で点 $Q$ を通るから、$\ell$ はこの接線である。

(c) $f(0)=0$ なので、弧 $OQ$ の長さは $$\displaystyle d=\int_0^{\log_e3}\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx =\int_0^{\log_e3}\sqrt{1+\sinh^2x}\,dx =\int_0^{\log_e3}\cosh x\,dx =\sinh(\log_e3)=\frac43.$$ ここで $\cosh x>0$ を用いた。一方、 $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\left(\frac45,\frac23+\frac25\right) =\left(\frac45,\frac{16}{15}\right)$$ より $$\displaystyle PQ=\sqrt{\left(\frac45\right)^2+\left(\frac{16}{15}\right)^2} =\sqrt{\frac{400}{225}}=\frac43.$$ したがって $d/PQ=1$ である。