2島根大学 2016年 数学 第2問解答・解説

第2問

(1) 点 $(1,1),(2,4)$ を通る条件は $$a+b+c=1,\qquad 4a+2b+c=4.$$ 差をとると $3a+b=3$ なので $b=3-3a$。これを最初の式に代入して $c=2a-2$。従って $$\boxed{b=3-3a,\qquad c=2a-2}.$$

(2) 判別式は $$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac\\ &=9(a-1)^2-8a(a-1)\\ &=(a-1)(a-9). \end{aligned}$$ 二次関数が $x$ 軸に接する条件は $\Delta=0$ だから $$\boxed{a=1\text{ または }a=9}.$$ いずれも $a\ne0$ を満たし、対応する式は $a=1$ で $f(x)=x^2$、$a=9$ で $f(x)=(3x-4)^2$ となり、確かに接する。

(3) (1) より、軸の方程式は $$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}=\frac{3(a-1)}{2a}.$$ これが指定された値に等しいとすると $$\displaystyle \frac{3(a-1)}{2a}=\frac{3(a-1)(a-3)}8.$$ $a\ne0$ より整理して $$(a-1)\{a(a-3)-4\}=(a-1)(a-4)(a+1)=0.$$ 従って $a=1,4,-1$。これらに対する二次関数と平方完成形は $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} a&f(x)&\text{軸}\\ \hline 1&x^2&x=0\\ 4&4x^2-9x+6=4\left(x-\frac98\right)^2+\frac{15}{16}&x=\frac98\\ -1&-x^2+6x-4=-(x-3)^2+5&x=3 \end{array}$$ である。区間 $1\le x\le2$ での最大値・最小値は次のとおり。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} a&\text{最大値}&\text{最小値}\\ \hline 1&4\ (x=2)&1\ (x=1)\\ 4&4\ (x=2)&\dfrac{15}{16}\ (x=\dfrac98)\\ -1&4\ (x=2)&1\ (x=1) \end{array}$$ 実際、$a=1$ では $x^2$ はこの区間で増加し、$a=4$ では上に開く放物線の 頂点 $x=9/8$ が区間内にある。$a=-1$ では導関数 $-2x+6$ が区間全体で正 だから増加する。これで各端点・頂点での最大値と最小値が確定する。