3東北大学 2005年 数学 第3問解答・解説

各回の白いサイコロの目を移動先、黒いサイコロの目を移動元とする。各回36通りの出方は等確率で、3回の出方は独立だから、全結果数は $36^3$ である。

(1) 最終的な枚数の差（初期の3枚からの差）は、3箱が $+1$、残り3箱が $-1$ である。3箱の純増分の合計は3で、3回の移動で動かす皿も合計3枚だから、各移動の移動先は純増となる箱であり、各純増箱に1回ずつ入る。同様に、各移動元は純減となる箱であり、各純減箱から1回ずつ出る。したがって、$+1$ の箱の選び方は $\displaystyle \binom63$ 通り、3つの移動元と移動先の対応は $3!$ 通り、その3移動を行う順序は $3!$ 通りである。よって $$\displaystyle \frac{\binom63\,3!\,3!}{36^3}=\frac{720}{46656}=\frac5{324}.$$

(2) 最終差は、枚数5の箱が $+2$、枚数4の箱が $+1$、枚数2の箱が $-1$、枚数1の箱が $-2$ で、残り2箱の差は0である。増える2箱が最終的に受け取る皿は合計3枚であり、3回の移動で動かせるのも合計3枚だけである。したがって3回すべての移動先がこの2箱であり、枚数5の箱に2枚、枚数4の箱に1枚が入る。また、減る2箱の純減の合計も3枚なので、3回すべての移動元がこの2箱であり、枚数1の箱から2枚、枚数2の箱から1枚が出る。

枚数5,4,1,2となる箱をこの順に選ぶ方法は $6\cdot5\cdot4\cdot3=360$ 通りである。残る2箱は枚数3のままである。箱の割当を固定すると、移動元については「枚数2の箱から移す回」が3回のうち1回、移動先については「枚数4の箱へ移す回」が3回のうち1回なので、それぞれの回を選ぶ方法は $3\cdot3=9$ 通りである。よって $$\displaystyle \frac{(6\cdot5\cdot4\cdot3)(3\cdot3)}{36^3} =\frac{3240}{46656}=\frac5{72}.$$