2富山大学 2010年 数学 第2問解答・解説

$0\le x\le1$ を満たす各 $x$ において、$yz$ 平面内の正方形 $0\le y,z\le1$ を $x$ 軸のまわりに回転すると、原点からの距離が $0$ から $\sqrt2$ までのすべての値をとり、各距離について全方向を掃く。したがって $$P_x=\{(x,y,z):0\le x\le1,\ y^2+z^2\le2\},\qquad P_y=\{(x,y,z):0\le y\le1,\ x^2+z^2\le2\}.$$ 以下 $a=\sqrt{2-t^2}$ とする。両方の立体の $z$ 座標の範囲は $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ である。このとき $$R_x=\{(x,y):0\le x\le1,\ -a\le y\le a\},\qquad R_y=\{(x,y):-a\le x\le a,\ 0\le y\le1\}.$$ よって $|R_x|=|R_y|=2a$。共通部分では $\displaystyle 0\le x,y\le\min(1,a)$ なので、 $$\displaystyle |R_x\cap R_y|=\min(1,a)^2=\begin{cases}1&( |t|\le1),\\2-t^2&(1\le|t|\le\sqrt2).\end{cases}$$ 二つの断面の面積の和から共通部分の面積を引くと $S(t)=|R_x|+|R_y|-|R_x\cap R_y|$ である。従って $$S(t)=\begin{cases} 4\sqrt{2-t^2}-1&( |t|\le1),\\ 4\sqrt{2-t^2}-(2-t^2)&(1\le|t|\le\sqrt2). \end{cases}$$ この関数は偶関数であり、範囲外では断面がない。したがって、四分円の面積 $\displaystyle \int_0^{\sqrt2}\sqrt{2-t^2}\,dt=\pi/2$ を使うと $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Vol}(Q) &=2\left[\int_0^1(4\sqrt{2-t^2}-1)\,dt+\int_1^{\sqrt2}(4\sqrt{2-t^2}-(2-t^2))\,dt\right]\\ &=2\left[4\cdot\frac{\pi}{2}-1-\left\{2t-\frac{t^3}{3}\right\}_1^{\sqrt2}\right]\\ &=2\left[2\pi-1-\frac{4\sqrt2-5}{3}\right] =4\pi+\frac{4-8\sqrt2}{3}. \end{aligned}$$