1富山大学 2010年 数学 第1問解答・解説

$a=f(t)$ とおく。$0\le x\le\pi/2$ でsin xは増加し、$\sin a=t$ だから、$0\le x\le a$ では $\sin x-t\le0$、$a\le x\le\pi/2$ では $\sin x-t\ge0$。従って $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}|\sin x-t|dx &=\int_0^a(t-\sin x)dx+\int_a^{\pi/2}(\sin x-t)dx\\ &=2ta+2\cos a-1-\frac{\pi t}{2}. \end{aligned}$$ (1)より $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}|\sin x-t|dx =2tf(t)+2\cos f(t)-1-\frac{\pi t}{2}.$$ (2) $0\le f(t)\le\pi/2$ なので $\cos f(t)\ge0$、かつ $\sin f(t)=t$。よって $\cos f(t)=\sqrt{1-t^2}$。gの定義に代入して $$g(t)=2\sqrt{1-t^2}+\pi t-1.$$ (3) $0<t<1$ で $$\displaystyle g'(t)=\pi-\frac{2t}{\sqrt{1-t^2}}.$$ 両項は正なので、二乗して比較すると $$\displaystyle g'(t)>0\text{ の必要十分条件は }\pi^2(1-t^2)>4t^2 \text{、すなわち }t<\frac{\pi}{\sqrt{\pi^2+4}}.$$ したがってgはこの値まで増加し、その後減少する。ここで $\sqrt{1-t_0^2}=2/\sqrt{\pi^2+4}$ を用いると $$\displaystyle g(t_0)=\sqrt{\pi^2+4}-1,\qquad t_0=\frac{\pi}{\sqrt{\pi^2+4}}.$$