千葉大学 2025年数学第8問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

千葉大学2025年度第8問

正方形に対して、その2本の対角線の交点を、その正方形の中心と呼ぶ。また、すべての内角が180°未満の四角形を凸四角形と呼ぶ。このとき、以下の問いに答えよ。(1) 複素数平面上に正方形 PQRS があり、その中心 T から見て4点 P, Q, R, S は反時計回りに並んでいる。頂点 P, Q の座標を表す複素数を p, q とするとき、中心 T の座標を表す複素数 t を p, q を用いて表せ。(2) 複素数平面上に凸四角形 ABCD がある。頂点 A, B, C, D の座標を表す複素数をそれぞれ α, β, γ, δ とする。四角形 ABCD の外側に線分 AB を1辺とする正方形を描きその中心を X とする。同様に、ABCD の外側に線分 BC を1辺とする正方形を描きその中心を Y とし、ABCD の外側に線分 CD を1辺とする正方形を描きその中心を Z とし、ABCD の外側に線分 DA を1辺とする正方形を描きその中心を W とする。このとき、XZ = YW であり、かつ、直線 XZ と直線 YW が直交することを証明せよ。(3) (2) において、線分 XZ と線分 YW がそれらの中点で交わるとき、四角形 ABCD はどのような四角形になるか、理由とともに述べよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

照合複素数表示で正方形中心を求めると、 $Y-W=\varepsilon i(X-Z)$ 。よって両ベクトルは同じ長さで直交する。さらに $x+z-y-w=\varepsilon i(\alpha+\gamma-\beta-\delta)$ なので、 $XZ$ と $YW$ の中点が一致すれば、対角線 $AC$ と $BD$ も互いに二等分する。凸四角形で対角線が互いに二等分するため、 $ABCD$ は平行四辺形である。採用解答の各小問の式と結論は一致し、論証は高校範囲内。判定は PASS。

分類単元は図形の性質、ベクトル、複素数平面。方法は複素数による90度回転、正方形中心の座標化、対角線の中点判定。テーマはVan Aubel型の等長・直交定理と対角線条件。

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。