7千葉大学 2025年 数学 第7問解答・解説

分母の中を $$Q(x)=x^4-2x^2+16=(x^2-1)^2+15>0$$ とおく。したがって f はすべての実数で定義される。

(1) 積の微分と合成関数の微分より $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x) &=-2xQ^{-1/2}-2x(16-x^2)(x^2-1)Q^{-3/2}\\ &=-\frac{2x\{Q+(16-x^2)(x^2-1)\}}{Q^{3/2}} =-\frac{30x^3}{Q^{3/2}}. \end{aligned}$$ 分母は正だから、$f'(x)=0$ の解は $x=0$。

(2) さらに微分すると $$\displaystyle f''(x)=\frac{90x^2(x^4-16)}{Q^{5/2}} =\frac{90x^2(x^2-4)(x^2+4)}{Q^{5/2}}.$$ よって $f''(x)=0$ の解は $x=0,\pm2$。

(3) $|x|>2$ では $f''(x)>0$、$0<|x|<2$ では $f''(x)<0$ である。$x=0$ では $f''(0)=0$ だが符号は変わらない。したがってグラフは $x<-2$ または $x>2$ で下に凸、$-2<x<2$ で上に凸であり、変曲点は $$\displaystyle f(\pm2)=\frac{12}{\sqrt{24}}=\sqrt6 \quad\text{より}\quad (-2,\sqrt6),\ (2,\sqrt6).$$ また f は偶関数で、$f'(x)>0$ ($x<0$)、$f'(x)<0$ ($x>0$) だから、最大点は $(0,4)$。x 切片は $x=\pm4$。さらに $$\displaystyle f(x)=\frac{16/x^2-1}{\sqrt{1-2/x^2+16/x^4}}\quad(x\ne0),\qquad \lim\limits _{x\to\pm\infty}f(x)=-1$$ より水平漸近線は $y=-1$。$Q(x)>0$ は常に成り立つので垂直漸近線はない。概形は y 軸対称で、左端から $y=-1$ に近づいて増加し、$(-4,0),(-2,\sqrt6),(0,4)$ を通って極大となり、右側は対称に $(2,\sqrt6),(4,0)$ を通って $y=-1$ に近づく。

(4) $x=a$ における接線は $y=f(a)+f'(a)(x-a)$。これが $(0,t)$ を通る条件は $$t=g(a):=f(a)-af'(a).$$ f が偶関数なので g も偶関数であり、 $$g'(a)=f'(a)-(f'(a)+af''(a))=-af''(a).$$ したがって g は $0<a<2$ で増加し、$a>2$ で減少する。また $$\displaystyle g(0)=4,\qquad f'(2)=-\frac{240}{24^{3/2}}=-\frac5{\sqrt6},\qquad g(2)=f(2)-2f'(2)=\sqrt6+\frac{10}{\sqrt6}=\frac{8\sqrt6}{3}.$$ さらに $$\displaystyle g(a)=f(a)+\frac{30a^4}{Q(a)^{3/2}},\qquad \lim\limits _{a\to+\infty}\frac{30a^4}{Q(a)^{3/2}} =\lim\limits _{a\to+\infty}\frac{30/a^2}{(1-2/a^2+16/a^4)^{3/2}}=0, \qquad \lim\limits _{a\to+\infty}g(a)=-1.$$ $0\le a\le2$ では g は 4 から $\displaystyle \frac{8\sqrt6}{3}$ へ増加し、$a\ge2$ では $\displaystyle \frac{8\sqrt6}{3}$ から -1 へ減少する。極限値 -1 は有限の a では取らない。したがって $a\ge0$ での g の値域は $\displaystyle -1<g(a)\le\frac{8\sqrt6}{3}$。g は偶関数だから全実数 a でも同じ値域となり、求める範囲は $$\displaystyle -1<t\le\frac{8\sqrt6}{3}.$$

グラフの概形は添付 diagram.svg に示す。$f$ は偶関数で、$(0,4)$、$(\pm4,0)$、$(\pm2,\sqrt6)$ を通る。これらを基準点として図示し、水平漸近線は $y=-1$。