6弘前大学 2025年 数学 第6問解答・解説

(1) $Q=(-a,t)\ (t\text{ は実数})$ とおく。$\ell''$ は水平線なので、交点 $P$ の $y$ 座標は $t$ である。垂直二等分線上では $PF=PQ$ だから、 $$\displaystyle (x-a)^2+t^2=(x+a)^2 \quad\text{より}\quad x=\frac{t^2}{4a}.$$ したがって $P=(t^2/(4a),t)$ であり、$t$ が実数全体を動くと $y^2=4ax$ 全体をちょうど一度ずつ動く。この曲線上では $x\ge0$ なので、 $$PF^2=(x-a)^2+y^2=(x-a)^2+4ax=(x+a)^2=d(P,\ell)^2.$$ 逆に $PF=d(P,\ell)$ を満たす点は、両辺を二乗して $y^2=4ax$ を満たす。よってこの軌跡は焦点 $F(a,0)$、準線 $\ell:x=-a$ の放物線である。

(2) $Q=(-a,t)$ に対する $\ell'$ は、垂直二等分線の条件から $$(x-a)^2+y^2=(x+a)^2+(y-t)^2 \quad\text{すなわち}\quad 4ax-2ty+t^2=0. \tag{1}$$ 一方、$C$ を $x$ の $y$ による関数 $x=y^2/(4a)$ とみると、$\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{y}{2a}$。$y=t$ における接線は $$\displaystyle x-\frac{t^2}{4a}=\frac{t}{2a}(y-t) \quad\text{すなわち}\quad 4ax-2ty+t^2=0.$$ これは (1) と一致する。$t=0$ の場合も同じ式は $x=0$ を与え、頂点 $P=(0,0)$ における接線となる。

$Q=(-a,t)$と置くと、$\ell''\text{ は }y=t$。PF=PQから$\displaystyle P=\left(\frac{t^2}{4a},t\right)$を得るので軌跡は$y^2=4ax$。さらにC上では$PF^2=(x-a)^2+y^2=(x+a)^2$で、$x+a>0$だからPFは準線x=−aまでの距離に等しい。ℓ′上でF,Qからの距離を等置すると$4ax-2ty+t^2=0$。Cを$\displaystyle x=\frac{y^2}{4a}$と表示したとき、$y=t$での接線も同じ式となる。$t=0$は頂点の接線x=0を含む。