5弘前大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1) 商の微分法より $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x) &=\frac{x^2(1-\cos x)-2x(x-\sin x)}{x^4}\\ &=\frac{2\sin x-x(1+\cos x)}{x^3}. \end{aligned}$$

(2) $\displaystyle t=\dfrac{x}{2}$ とおくと、$0<t\le\pi$ である。また $$\displaystyle 2\sin\frac{x}{2}-x\cos\frac{x}{2}=2(\sin t-t\cos t).$$ $h(t)=\sin t-t\cos t$ とおく。$\displaystyle 0<t<\dfrac{\pi}{2}$ では $$h'(t)=t\sin t>0,\qquad h(0)=0$$ より $h(t)>0$ である。$\displaystyle \dfrac{\pi}{2}\le t\le\pi$ では $\sin t\ge0,\ \cos t\le0$ であり、少なくとも一方の項は正なので $h(t)>0$ である。したがって $$\displaystyle 2\sin x-x(1+\cos x) =2\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-x\cos\frac{x}{2}\right)$$ において括弧内は常に正である。よって $f'(x)=0$ となるのは $$\displaystyle \cos\frac{x}{2}=0$$ のときに限る。$0<x\le2\pi$ より $x=\pi$ のみである。

(3) 括弧内の因子は正で、$x^3>0$ だから、$f'(x)$ の符号は $\displaystyle \cos\dfrac{x}{2}$ の符号と一致する。ゆえに $f$ は $0<x<\pi$ で増加し、$\pi<x\le2\pi$ で減少する。最大値は $x=\pi$ でとり、 $$\displaystyle f(\pi)=\frac{\pi-\sin\pi}{\pi^2}=\frac1\pi.$$