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広島大学／2023年度／前期

広島大学 2023年 数学 第2問解答・解説

図形と方程式

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1問題

広島大学2023年度第2問

原点を OO とする座標平面上の2点 A(3,0)A(3,0)，B(1,1)B(1,1) を考える。α\alpha，β\beta を実数とし，点 P(α,β)P(\alpha,\beta) は直線 OAOA 上にも直線 OBOB 上にもないとする。直線 OAOA に関して点 PP と対称な点を QQ とし，直線 OBOB に関して点 PP と対称な点を RR とする。次の問いに答えよ。

(1) 点 QQ および点 RR の座標を，α\alpha，β\beta を用いて表せ。

(2) 直線 OAOA と直線 QRQR が交点 SS をもつための条件を，α\alpha，β\beta のうちの必要なものを用いて表せ。さらに，このときの交点 SS の座標を，α\alpha，β\beta のうちの必要なものを用いて表せ。

(3) 直線 OBOB と直線 QRQR が交点 TT をもつための条件を，α\alpha，β\beta のうちの必要なものを用いて表せ。さらに，このときの交点 TT の座標を，α\alpha，β\beta のうちの必要なものを用いて表せ。

(4) α\alpha，β\beta は(2)と(3)の両方の条件を満たすとし，SS，TT は(2)，(3)で定めた点であるとする。このとき，直線 OAOA と直線 BSBS が垂直となり，直線 OBOB と直線 ATAT が垂直となる α\alpha，β\beta の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

対称移動を座標で表し、QRの方程式と各直線の交点を求めた後、垂直条件を座標軸および傾きで表して連立する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) Q(α,−β), R(β,α).(1)\space{}Q(\alpha,-\beta),\space{}R(\beta,\alpha).
    (2) α+β≠0, S(α2+β2α+β,0).\displaystyle (2)\space{}\alpha+\beta\ne0,\space{}S\left(\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha+\beta},0\right).
    (3) α≠0, T(α2+β22α,α2+β22α).\displaystyle (3)\space{}\alpha\ne0,\space{}T\left(\frac{\alpha^2+\beta^2}{2\alpha},\frac{\alpha^2+\beta^2}{2\alpha}\right).
    (4) (α,β)=(35,65).\displaystyle (4)\space{}(\alpha,\beta)=\left(\frac35,\frac65\right).

4解答

解答を見る途中式つきの解答

直線 OA は y=0, OB は y=x である。したがって反射により Q(α,−β), R(β,α) となる。ここで P は直線 OA 上にも直線 OB 上にもないので β≠0, α≠β であり、Q≠R である。ベクトル QR→=(β−α,α+β) に垂直な (α+β,α−β) を法線ベクトルとすると、直線 QR の方程式は (α+β)x+(α−β)y=α2+β2 である。(2) y=0 を代入すると (α+β)x=α2+β2 となる。α+β=0 のとき α=−β≠0 なので右辺は 2β2>0 となり、交点はない。よって条件は α+β≠0 で、このとき S(α2+β2α+β,0) である。(3) y=x を代入すると 2αx=α2+β2 となる。α=0 なら β≠0 より解がない。したがって条件は α≠0 で、このとき T(α2+β22α,α2+β22α) である。(4) S=(u,0) とおく。OA は水平なので BS⊥OA となるのは BS が鉛直、すなわち u=1 のときである。よって α2+β2=α+β を得る。T=(v,v) とおくと、OB の傾きは 1 であり、これに垂直で A(3,0) を通る直線は y=−x+3 だから、v=3−v、すなわち v=32 である。したがって α2+β2=3α である。二つの式から β=2α、さらに 5α2=3α を得る。条件 α≠0 より α=35, β=65 である。これは β≠0,α≠β,α+β≠0,α≠0 を満たす。\displaystyle \text{直線 }OA\text{ は }y=0,\ OB\text{ は }y=x\text{ である。したがって反射により }Q(\alpha,-\beta),\ R(\beta,\alpha)\text{ となる。ここで }P\text{ は直線 }OA\text{ 上にも直線 }OB\text{ 上にもないので }\beta\ne0,\ \alpha\ne\beta\text{ であり、}Q\ne R\text{ である。}\quad \text{ベクトル }\overrightarrow{QR}=(\beta-\alpha,\alpha+\beta)\text{ に垂直な }(\alpha+\beta,\alpha-\beta)\text{ を法線ベクトルとすると、直線 }QR\text{ の方程式は }(\alpha+\beta)x+(\alpha-\beta)y=\alpha^2+\beta^2\text{ である。}\quad (2)\ y=0\text{ を代入すると }(\alpha+\beta)x=\alpha^2+\beta^2\text{ となる。}\alpha+\beta=0\text{ のとき }\alpha=-\beta\ne0\text{ なので右辺は }2\beta^2>0\text{ となり、交点はない。よって条件は }\alpha+\beta\ne0\text{ で、このとき }S\left(\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha+\beta},0\right)\text{ である。}\quad (3)\ y=x\text{ を代入すると }2\alpha x=\alpha^2+\beta^2\text{ となる。}\alpha=0\text{ なら }\beta\ne0\text{ より解がない。したがって条件は }\alpha\ne0\text{ で、このとき }T\left(\frac{\alpha^2+\beta^2}{2\alpha},\frac{\alpha^2+\beta^2}{2\alpha}\right)\text{ である。}\quad (4)\ S=(u,0)\text{ とおく。}OA\text{ は水平なので }BS\perp OA\text{ となるのは }BS\text{ が鉛直、すなわち }u=1\text{ のときである。よって }\alpha^2+\beta^2=\alpha+\beta\text{ を得る。}T=(v,v)\text{ とおくと、}OB\text{ の傾きは }1\text{ であり、これに垂直で }A(3,0)\text{ を通る直線は }y=-x+3\text{ だから、}v=3-v\text{、すなわち }v=\frac32\text{ である。したがって }\alpha^2+\beta^2=3\alpha\text{ である。二つの式から }\beta=2\alpha\text{、さらに }5\alpha^2=3\alpha\text{ を得る。条件 }\alpha\ne0\text{ より }\alpha=\frac35,\ \beta=\frac65\text{ である。これは }\beta\ne0,\alpha\ne\beta,\alpha+\beta\ne0,\alpha\ne0\text{ を満たす。}

この問題で使う考え方

  • 直線の方程式

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