4広島大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $$b_1=\log_2 2=1.$$ また $$\displaystyle a_2=\left(\frac{1^6\cdot2}{2^3}\right)^2=\frac1{16}, \qquad b_2=\log_2\frac{1/16}{2^2}=\log_2\frac1{64}=-6.$$ 従って $$\boxed{b_1=1,\quad b_2=-6}.$$

(2) 漸化式から $$\displaystyle \begin{aligned} b_{n+1} &=\log_2\frac{a_{n+1}}{(n+1)^2} =\log_2\frac{n^{12}}{a_n^6}\\ &=-6\log_2\frac{a_n}{n^2}=-6b_n. \end{aligned}$$ したがって $\{b_n\}$ は初項1、公比 $-6$ の等比数列であり、 $$\boxed{b_n=(-6)^{n-1}}.$$

(3) $1\le k\le n$ なら $0\le\log_2k\le\log_2n$ だから $$\displaystyle 0\le \frac1{6^{2n}}\sum\limits _{k=1}^n\log_2k \le \frac{n\log_2n}{6^{2n}}\longrightarrow0$$ （右辺の極限は問題文で与えられている）。従って $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\frac1{6^{2n}}\sum\limits _{k=1}^n\log_2k=0}.$$

(4) $b_{2k}=\log_2(a_{2k}/(2k)^2)=(-6)^{2k-1}=-6^{2k-1}$ より $$\log_2a_{2k}=-6^{2k-1}+2\log_2(2k) =-6\cdot36^{k-1}+2+2\log_2k.$$ 従って $$\displaystyle \begin{aligned} \frac1{6^{2n}}\sum\limits _{k=1}^n\log_2a_{2k} &=-\frac6{36^n}\sum\limits _{k=1}^n36^{k-1} +\frac{2n}{36^n}+\frac2{36^n}\sum\limits _{k=1}^n\log_2k\\ &=-\frac6{35}\left(1-\frac1{36^n}\right) +\frac{2n}{36^n}+\frac2{36^n}\sum\limits _{k=1}^n\log_2k. \end{aligned}$$ 最後の2項は(3)および問題文で与えられた極限から0に収束する。ゆえに $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\frac1{6^{2n}}\sum\limits _{k=1}^n\log_2a_{2k}=-\frac6{35}}.$$