3広島大学 2023年 数学 第3問解答・解説

原文・対象 固定PDF p.8の大問3を視認し、単位辺の正八面体とABCDが正方形という条件、(1)三内積、(2)AFの係数、(3)指定比の内分点G,Hによる面積最小の全問を確認。

点検した論証 b=AB、d=ADは単位長で直交するのでb·d=0。BE,DEも単位辺のため $|\vec e-\vec b|^2=|\vec e-\vec d|^2=1$、これを展開して$\displaystyle \vec b\cdot\vec e=\vec d\cdot\vec e=\frac12$。

正八面体の中心をOと置けばOは正方形ABCDの中心かつEFの中点。従って$\displaystyle AO=\frac{\vec b+\vec d}{2}=\frac{\vec e+\overrightarrow{AF}}{2}$から$\overrightarrow{AF}=\vec b+\vec d-\vec e$、係数は(1,1,−1)。最終解答ではOを新たに定める文を追加して、本文未定義の記号のように見えないよう整えた。

BG:GE=1:2から$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{2\vec b+\vec e}{3}$。CH:HF=t:(1−t)から$\overrightarrow{AH}=(1-t)\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AF}=\vec b+\vec d-t\vec e$。内積で $\displaystyle |\overrightarrow{AG}|^2=\frac79,\quad|\overrightarrow{AH}|^2=t^2-2t+2,\quad\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AH}=1-\frac{2t}{3}$。面積の二乗は $\displaystyle \frac14\left(|\overrightarrow{AG}|^2|\overrightarrow{AH}|^2-(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AH})^2\right)=\frac{3t^2-2t+5}{36}=\frac{3(t-\frac13)^2+\frac{14}{3}}{36}$。指定区間内で最小はt=1/3、面積√42/18。

分類 - 単元: 空間ベクトル、三角形の面積。 - 方法: 内積展開、中心の対称性、内分点の位置ベクトル、面積二乗の平方完成。 - テーマ: 正八面体の距離関係と内分点で作る三角形の面積最小化。

対象・入力記録

表示修復記録

前版の数式が数式モード外に出ていた箇所をインライン・別行数式に整形し、本文と式を読み分けられるようにした。数学的主張・計算・結論は変更していない。修復前ファイルは `history/transfer08-display-repair-20261001/MM-86febd8dad6d-Q3/` に保存した。