1金沢大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$t>0$である。

(1) $\displaystyle f'(x)=e^{1/x}\left(-\frac1{x^2}\right)=-\frac{e^{1/x}}{x^2}$ より、$P(t,e^{1/t})$ における接線は

$\displaystyle y-e^{1/t}=-\frac{e^{1/t}}{t^2}(x-t)$,

すなわち $\displaystyle y=-\frac{e^{1/t}}{t^2}x+e^{1/t}\left(1+\frac1t\right)$.

(2) $y=0$ とおくと $\displaystyle x=t^2\left(1+\frac1t\right)=t(t+1)$ なので $A=(t(t+1),0)$。また、$x=0$ とおくと $\displaystyle B=\left(0,e^{1/t}\left(1+\frac1t\right)\right)$。

(3) OAB は O を直角の頂点とする三角形だから、

$\displaystyle S=\frac12t(t+1)e^{1/t}\left(1+\frac1t\right)=\frac12e^{1/t}(t+1)^2$.

これを微分すると

$\displaystyle S'(t)=\frac12e^{1/t}\left(2(t+1)-\frac{(t+1)^2}{t^2}\right)=\frac12e^{1/t}\frac{(t+1)(2t+1)(t-1)}{t^2}$.

$t>0$ では $e^{1/t},t+1,2t+1,t^2$ はすべて正なので、$S'(t)<0\ (0<t<1),\quad S'(t)>0\ (t>1)$。よって $S$ は $t=1$ で最小となる。

$\displaystyle S(1)=\frac12e\cdot2^2=2e$ だから、求める最小値は $2e$。