熊本大学 2026年数学第2問解答・解説

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1問題

熊本大学2026年度第2問

$m$ を2以上の整数として，毎回 $\displaystyle \frac{1}{m}$ の確率で当たりの出るくじを $n$ 回引く。このとき，1回も当たりを引かない確率を $p_{m,n}$ とする。以下の問いに答えよ。ただし， $0.30102<\log_{10}2<0.30103,\qquad 0.47712<\log_{10}3<0.47713$ であることを用いてよい。

(問1) $p_{m,n}$ を $m,n$ を用いて表せ。

(問2) $p_{25,n}<0.1$ となる最小の $n$ を求めよ。

(問3) $\displaystyle \lim\limits _{m\to\infty}p_{m,2m}$ を求めよ。ただし， $\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=e$ （自然対数の底）を用いてよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(問1) $\displaystyle p_{m,n}=\left(\frac{m-1}{m}\right)^n$ 。 (問2) $n=57$ 。 (問3) $\displaystyle \frac1{e^2}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(問1) 各回で当たりを引かない確率は $(m-1)/m$ 。n回は独立だから $\displaystyle p_{m,n}=\left(\frac{m-1}{m}\right)^n.$ (問2) $L=\log_{10}(25/24)$ とすると $L=2-5\log_{10}2-\log_{10}3,\qquad 0.01772<L<0.01778.$ $(24/25)^n<0.1$ は $nL>1$ と同値。 $56L<0.99568<1$ で、 $57L>1.01004>1$ 。また $(24/25)^n$ はnとともに減るので最小nは57。 (問3) $\displaystyle p_{m,2m} =\left[\left(1+\frac1{m-1}\right)^{m-1}\right]^{-2} \left(1+\frac1{m-1}\right)^{-2}.$ $k=m-1$ と置き、設問の極限を使うと $m\to\infty$ で $p_{m,2m}\to e^{-2}$ 。

この問題で使う考え方

独立試行の積
対数を使った最小回数の比較
指数極限への変形

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