富山大学 2018年数学第2問解答・解説

1問題

富山大学2018年度第2問

次の問いに答えよ。

(1) 関数 $y=\sqrt[3]{x^2}$ は $x=0$ で微分可能でないことを示せ。

(2) 関数 $f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^2}+2\sqrt[3]{(x+2)^2}$ を考える。 (a) $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x),\ \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)$ をそれぞれ求めよ。 (b) $y=f(x)$ のグラフの概形をかけ。 (c) $k$ を実数とする。 $x$ についての方程式 $f(x)=k$ の異なる実数解の個数が4個となるような $k$ の値の範囲を求めよ。（解答用紙は，2を使用せよ）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$y=\sqrt[3]{x^2}$ is not differentiable at 0
(2)(a)
limits at +∞ and −∞ are both +∞
(2)(b) 極小値 x=−2
$\displaystyle 3^{\frac{2}{3}}$
(2)(b) 極小値 x=1
$\displaystyle 2\cdot3^{\frac{2}{3}}$
(2)(b) 極大値 x=2/3
$\displaystyle 3^{\frac{4}{3}}$
(2)(c)
$\displaystyle 2\cdot3^{\frac{2}{3}}<k<3^{\frac{4}{3}}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}=|x|^{\frac{2}{3}}$ とし差商を左右から見ると、一方は $+\infty$ 、他方は $-\infty$ へ発散する。(2)(a) $\displaystyle \frac{f(x)}{|x|^{\frac{2}{3}}}\to3$ なので両端で $f\to+\infty$ 。(2)(b) $\displaystyle f(x)=|x-1|^{\frac{2}{3}}+2|x+2|^{\frac{2}{3}}$ を区間ごとに微分する。 $x<-2$ では減少、 $x>1$ では増加。 $-2<x<1$ の導関数は $\displaystyle \frac{2}{3}\left(\frac{2}{(x+2)^{1/3}}-\frac{1}{(1-x)^{1/3}}\right)$ で、零点は $\displaystyle x=\frac{2}{3}$ 。各単調区間と極値の高さを求める。(2)(c)4つの単調枝すべてで水平線と交わる範囲を調べると、 $k$ は二つの局所最小値の大きい方より大きく、局所最大値より小さい。端点では枝が接続するため解は3個。

(2)(b)の概形。拡大図では、滑らかな極大点と尖点である極小点を区別して示す。

関数f(x)=|x−1|^(2/3)+2|x+2|^(2/3)のグラフ。x<−2で減少、−2<x<2/3で増加、2/3<x<1で減少、x>1で増加。尖点の極小は(-2,3^(2/3))とB=(1,2·3^(2/3))、滑らかな極大はA=(2/3,3^(4/3))。左右の無限遠でともに正の無限大。下段にAとBの近傍を拡大し、近接した極値と滑らかな極大・尖点を区別する。

この問題で使う考え方

差商による微分可能性判定
絶対値の分数指数表示
区間ごとの微分と符号判定
単調区間の値域と方程式の解の個数

1問題

2答え

3解答

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