3富山大学 2018年 数学 第3問解答・解説

問題文は $[a]$ を $a$ 以下の最大整数と定義しているため、$g(x)$ の角括弧も床関数として扱う。まず $[x+1/2]$ は $0\le x<1/2$ で0、$1/2\le x\le1$ で1となる。境界 $x=1/2$ ではどちらの式を用いても $f=1/2$ となるので、$f$ のグラフは三点 $(0,0),(1/2,1/2),(1,0)$ を結ぶ折れ線である。

$f$ は0から $1/2$ の範囲を動く。したがって $[f+3/4]$ は、$f<1/4$ で0、$f\ge1/4$ で1となる。$f\ge1/4$ に対応する x の範囲が $1/4\le x\le3/4$ なので、$g$ はこの区間で $1/2$、その外で0となる段状のグラフである。

$g=0$ のとき $h=2f$、$g=1/2$ のとき $f\le1/2$ より $h=1/2$。よって $h$ は両端を直線で結び、中央を高さ $1/2$ の水平線でつないだ形になる。

最後に $h$ と $\sin\pi x$ はともに $x=1/2$ に関して対称なので、積分を半区間の積分の2倍にする。区間ごとに積分すると $1/\pi$ の項が相殺され、値は $2\sqrt2/\pi^2$。

**答え**

(1) $(0,0),(1/2,1/2),(1,0)$ を結ぶ折れ線。

(2) $0\le x<1/4$ または $3/4<x\le1$ で $g=0$、$1/4\le x\le3/4$ で $g=1/2$。

(3) $0\le x\le1/4$ で $h=2x$、$1/4\le x\le3/4$ で $h=1/2$、$3/4\le x\le1$ で $h=2(1-x)$。

(4) $\displaystyle \int_0^1h(x)\sin\pi x\,dx=\frac{2\sqrt2}{\pi^2}$。