8秋田大学 2024年 数学 第8問解答・解説

$z=x+iy$ (x,y は実数) とおくと $z+i\overline z=(x+y)(1+i)$ だから、条件は $x+y=1$ である。 (i) $\alpha=a+bi$ とする。 $|z|=|z-\alpha|$ を平方して整理すると $2ax+2by=a^2+b^2$ を得る。 $x+y=1$ 上で左辺が一定になるには a=b でなければならず、そのとき $2a=2a^2$ より $a=0,1$。$\alpha=0$ では等距離の点は平面全体となるため、$\alpha=1+i$ である。 (ii) $w=1/z$, $\displaystyle c=\frac{1+\sqrt3i}{2}$ とおく。三角形 0,w,cw の面積は$\displaystyle \frac12|\operatorname{Im}(\overline{w}cw)|=\frac{\sqrt3}{4|z|^2}$。また $x+y=1$ より $\displaystyle |z|^2=x^2+y^2=\frac12+\frac{(x-y)^2}{2}\geq\frac12$。したがって面積の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}$ で、 $\displaystyle x=y=\frac12$ のとき達する。 (iii) $\displaystyle w=\frac{1}{z}=u+iv$, $S=x^2+y^2$ とする。頂点 w からの二辺は 3-w と 1+i だから、面積は$\displaystyle \frac12|\operatorname{Im}(\overline{3-w}(1+i))|=\frac12|3-u+v|$。 $\displaystyle u=\frac{x}{S},\quad v=-\frac yS$ および $x+y=1$ より $\displaystyle 3-u+v=3-\frac1S$。 $\displaystyle S\geq\frac12$ なので $\displaystyle 3-\frac1S\geq1$ であり、面積の最小値は$\displaystyle \frac12$。等号は $\displaystyle S=\frac12$、すなわち $\displaystyle x=y=\frac12$ のとき成立する。