4秋田大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(i) 三角形の重心の座標は3頂点の座標の平均であるから、 $$\displaystyle G=\left(\frac{0+(-2)+3}{3},\frac{0+6+1}{3}\right)=\left(\frac13,\frac73\right).$$

(ii) $\overrightarrow{AB}=(3-(-2),1-6)=(5,-5)$ である。直線ABは点Aを通り傾き$-1$なので $x+y=4$。Pを$(x,y)$とすると、$\overrightarrow{OP}\perp\overrightarrow{AB}$ より $$(x,y)\cdot(5,-5)=0,\quad x=y.$$ これと$x+y=4$を解いて $P=(2,2)$。

(iii) Iは△AOQの内心で、OとIはともにy軸上にある。したがってOIは$\angle AOQ$の内角二等分線であり、半直線OAとOQはy軸に関して対称である。$\overrightarrow{OA}=(-2,6)$ をy軸対称に移した方向は$(2,6)$ だから、$Q$は半直線$OQ$上にあり、ある$\lambda>0$を用いて $Q=(2\lambda,6\lambda)$ と表せる。直線ABは$x+y=4$なので $8\lambda=4$、$\displaystyle \lambda=\frac12$。よって$Q=(1,3)$。このときOAとOQは異なる上向きの半直線で、内角二等分線は正のy軸となるので条件を満たす。

重心は座標平均。ABの方程式x+y=4とOP⊥ABよりP=(2,2)。内心がy軸上にあるとき、OAとOQはy軸に関して対称なのでQ=(2λ,6λ)をABへ代入しQ=(1,3)。