秋田大学 2025年数学第7問解答・解説

数列

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1問題

秋田大学2025年度第7問

数列 $\{a_{n}\}$ の初項 $a_{1}$ から第n項 $a_{n}$ までの和を $S_{n}$ とする。 $a_{n}$ と $S_{n}$ は次の関係式を満たす。

$a _ {n} + 2 S _ {n} = 3 \cdot 2 ^ {n - 1} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

次の問いに答えなさい。

(i) $a_{n+1}$ と $a_{n}$ の関係式を求めなさい。

(ii) 一般項 $a_{n}$ を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

和の定義を用いて漸化式を導き、正規化した数列を等比数列として解く。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i) $\displaystyle \quad a_{n+1}=\frac13a_n+2^{n-1}\space{}(n\ge1),\qquad$ (ii) $\displaystyle \quad a_n=\frac35\,2^{n-1}+\frac25\left(\frac13\right)^{n-1}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$n=1$ のとき $S_1=a_1$ なので、与式から $3a_1=3$ 、よって $a_1=1$ 。

(i) $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ を用い、与式の $n+1$ の場合から $n$ の場合を引くと $(a_{n+1}+2S_{n+1})-(a_n+2S_n)=3\cdot2^{n-1},$ したがって $3a_{n+1}-a_n=3\cdot2^{n-1}$ 。よって $\displaystyle a_{n+1}=\frac13a_n+2^{n-1}.$

(ii) $b_n=a_n/2^{n-1}$ とおくと、(i) より $\displaystyle b_{n+1}=\frac16b_n+\frac12, \qquad b_{n+1}-\frac35=\frac16\left(b_n-\frac35\right).$ $b_1=a_1=1$ だから、等比数列の一般項より $\displaystyle b_n-\frac35=\left(\frac16\right)^{n-1}\left(1-\frac35\right)=\frac25\left(\frac16\right)^{n-1}.$ ゆえに $\displaystyle a_n=2^{n-1}b_n=\frac35\,2^{n-1}+\frac25\left(\frac13\right)^{n-1}.$

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