6秋田大学 2025年 数学 第6問解答・解説

$\displaystyle z=\dfrac{\beta}{\alpha}$ とおく。$|\alpha|=\sqrt{3}\ne0$ より定義でき、$\displaystyle |z|=\dfrac{|\beta|}{|\alpha|}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$。また $4\alpha-\beta=\alpha(4-z)$ だから、 $$\displaystyle |4-z|=\dfrac{|4\alpha-\beta|}{|\alpha|}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=|z|.$$ $z=x+yi$ とすると、$(x-4)^2+y^2=x^2+y^2$ より $x=2$。さらに $\displaystyle x^2+y^2=|z|^2=\dfrac{16}{3}$ から $\displaystyle y^2=\dfrac{4}{3}$、したがって $\displaystyle y=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}$。よって $\displaystyle \dfrac{\beta}{\alpha}=2\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}i$。

複素数平面での三角形の面積は $\displaystyle S=\dfrac12|\operatorname{Im}(\overline{\alpha}\beta)|$。$\beta=\alpha z$ より $\overline{\alpha}\beta=|\alpha|^2z=3z$ なので、 $$\displaystyle S=\dfrac12\cdot3\cdot|\operatorname{Im}z|=\dfrac32\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

面積公式の成分による確認：$\alpha=u+vi,\ w=\operatorname{Im}(z)=\pm2/\sqrt3$ とおくと $\beta=\alpha(2+wi)=(2u-wv)+i(wu+2v)$。したがって三角形の2倍面積は $$\displaystyle |u\operatorname{Im}\beta-v\operatorname{Re}\beta|=|w|(u^2+v^2)=\frac{2}{\sqrt3}\cdot3=2\sqrt3,$$ よって面積は $\sqrt3$。