5秋田大学 2025年 数学 第5問解答・解説

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(i) (y'=$2\sin x\cos x=\sin2x$)。$\displaystyle (x=\frac{\pi}{4})$ では点は $\displaystyle \left(\frac{\pi}{4},\frac12\right)$、傾きは1なので、接線は $\displaystyle (y-\frac12=x-\frac{\pi}{4})$、すなわち ($\displaystyle y=x-\frac{\pi}{4}+\frac12$)。

(ii) $$\displaystyle \sin^2x-\frac12\cos2x=\frac{1-\cos2x}{2}-\frac12\cos2x=\frac12-\cos2x.$$ ゆえに条件は $\displaystyle \cos 2x\le\frac12$。$0\le2x\le2\pi$ で成り立つのは $\displaystyle \frac{\pi}{3}\le2x\le\frac{5\pi}{3}$ なので、$\displaystyle \frac{\pi}{6}\le x\le\frac{5\pi}{6}$。

(iii) 交点は等号 $\displaystyle \cos 2x=\frac12$ より $\displaystyle x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$。この間は差が $\displaystyle \frac12-\cos 2x>0$（例えば区間内では $\displaystyle \frac{\pi}{3}\le2x\le\frac{5\pi}{3}$ で、端点のみ $\displaystyle \cos 2x=\frac12$、内部では $\displaystyle \cos 2x<\frac12$）だから $y=\sin^2 x$ が上側である。したがって $$\displaystyle S=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\left(\frac12-\cos2x\right)dx =\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{2}\right]_{\pi/6}^{5\pi/6} =\frac\pi3+\frac{\sqrt3}{2}.$$ 採用解説の微分係数、倍角変形、区間端点、面積の上下関係と積分値はいずれも正しい。三角関数、微分、定積分による面積で解け、高校範囲内。

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