2獨協医科大学 2023年 1日目 数学 第2問解答・解説

円を $x$ 軸方向にはそのまま、$y$ 軸方向には $\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}$ 倍するので、楕円の長半径と短半径はそれぞれ $a=r$、$\displaystyle b=\frac{\sqrt3}{2}r$ である。焦点距離を $c$ とすると $$\displaystyle c^2=a^2-b^2=r^2-\frac34r^2=\frac14r^2,\qquad c=\frac r2.$$ したがって $\displaystyle F_1=(-\frac r2,0)$、$\displaystyle A=(0,-\frac{\sqrt3}{2}r)$ であり、 $$\displaystyle F_1A=\sqrt{\left(\frac r2\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}r\right)^2}=r=2\sqrt5.$$ よって $r=2\sqrt5$、$F_1=(-\sqrt5,0)$ で、楕円 $C$ の方程式は $$\displaystyle \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{15}=1$$ となる。

(1) 直線 $F_1A$ の傾きは $\displaystyle -\frac{\sqrt{15}}{\sqrt5}=-\sqrt3$ である。傾き $m$ の楕円の接線は $y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$ と表せる（接点を $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ と置き、接線の傾き条件を用いると得られる）。ここで $m=-\sqrt3$ だから切片は $\pm\sqrt{20\cdot3+15}=\pm5\sqrt3$ であり、正の切片をもつ接線は $$\ell:y=-\sqrt3x+5\sqrt3$$ である。

三角形 $F_1AP$ の底辺 $F_1A$ の長さは $2\sqrt5$ である。直線 $F_1A$ は $\sqrt3x+y+\sqrt{15}=0$ なので、点 $P=(x,y)$ からこの直線までの距離は $\displaystyle \frac{|\sqrt3x+y+\sqrt{15}|}{2}$。よって面積は $$\displaystyle \frac{\sqrt5}{2}|\sqrt3x+y+\sqrt{15}|.$$ $P$ を $(2\sqrt5\cos\theta,\sqrt{15}\sin\theta)$ と置くと $$\sqrt3x+y=\sqrt{15}(2\cos\theta+\sin\theta)=5\sqrt3\cos(\theta-\varphi),$$ ただし $\displaystyle \cos\varphi=\frac{2}{\sqrt5}$、$\displaystyle \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt5}$ とした。したがって $\sqrt3x+y$ の範囲は $-5\sqrt3\le\sqrt3x+y\le5\sqrt3$ である。$\sqrt{15}>0$ より $$\displaystyle \max|\sqrt3x+y+\sqrt{15}|=5\sqrt3+\sqrt{15}$$ となる（負側の端での絶対値 $5\sqrt3-\sqrt{15}$ より大きい）。ゆえに面積の最大値は $$\displaystyle \frac{\sqrt5}{2}(5\sqrt3+\sqrt{15})=\frac{5\sqrt3(\sqrt5+1)}{2}.$$ 等号は $\theta=\varphi$ のときに成立し、$x_P=2\sqrt5\cos\varphi=4$ である。

(2) $Q$ の座標を $(x_Q,y_Q)$ とする。三角形 $QF_1F_2$ の内心は、各頂点をその頂点の対辺の長さで重み付けした点である。楕円上の点なので $QF_1+QF_2=2a=4\sqrt5$、また $F_1F_2=2c=2\sqrt5$。したがって内心の $y$ 座標は $$\displaystyle y_I=\frac{F_1F_2}{QF_1+QF_2+F_1F_2}y_Q=\frac{2\sqrt5}{4\sqrt5+2\sqrt5}y_Q=\frac13y_Q,$$ ゆえに $y_Q=3y_I$。

焦点 $(0,y_Q)$、準線 $y=y_I$ の放物線が $Q$ を通るので、焦点までの距離と準線までの距離が等しい。$Q$ は第1象限にあり $\displaystyle y_I=\frac13y_Q$ だから $$\displaystyle |x_Q|=y_Q-y_I=\frac23y_Q.$$ 一方、楕円の式より $\displaystyle x_Q^2=20-\frac43y_Q^2$ である。両辺を二乗して $$\displaystyle 20-\frac43y_Q^2=\frac49y_Q^2, \qquad y_Q^2=\frac{45}{4}.$$ $Q$ は第1象限なので $y_Q>0$、したがって $$\displaystyle y_Q=\frac{3\sqrt5}{2}.$$