4獨協医科大学 2023年 1日目 数学 第4問解答・解説

定義から、$a_n$、$b_n$ を用いて $$f_{n+1}(x)=\cos x\left((\sin x)a_n-b_n\right)$$ と書ける。

まず $$\displaystyle a_1=\int_0^{\pi/3}\cos t\,dt=\frac{\sqrt3}{2},\qquad b_1=\int_0^{\pi/3}\sin t\cos t\,dt=\frac12\sin^2\frac{\pi}{3}=\frac38.$$ また、上の $f_{n+1}$ の式をそれぞれの定義積分に代入すると $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1} &=a_n\int_0^{\pi/3}\sin t\cos t\,dt-b_n\int_0^{\pi/3}\cos t\,dt =\frac38a_n-\frac{\sqrt3}{2}b_n,\\ b_{n+1} &=a_n\int_0^{\pi/3}\sin^2t\cos t\,dt-b_n\int_0^{\pi/3}\sin t\cos t\,dt =\frac{\sqrt3}{8}a_n-\frac38b_n. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \int_0^{\pi/3}\sin^2t\cos t\,dt=\frac13\sin^3\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{8}$ を用いた。

この2式をもう一度代入すると $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+2} &=\frac38\left(\frac38a_n-\frac{\sqrt3}{2}b_n\right) -\frac{\sqrt3}{2}\left(\frac{\sqrt3}{8}a_n-\frac38b_n\right) =-\frac3{64}a_n,\\ b_{n+2} &=\frac{\sqrt3}{8}\left(\frac38a_n-\frac{\sqrt3}{2}b_n\right) -\frac38\left(\frac{\sqrt3}{8}a_n-\frac38b_n\right) =-\frac3{64}b_n. \end{aligned}$$ したがって (1) の係数は問題文の各枠に対応する。

(2) まず $n=1$ の定義と上の漸化式から $$\displaystyle f_2(x)=\cos x\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin x-\frac38\right) =\frac{\sqrt3}{4}\sin2x-\frac38\cos x.$$ さらに $\displaystyle a_{n+2}=-\frac3{64}a_n$、$\displaystyle b_{n+2}=-\frac3{64}b_n$ と $f_{n+1}(x)=\cos x(\sin x\,a_n-b_n)$ より、$n\ge2$ では $\displaystyle f_{n+2}(x)=-\frac3{64}f_n(x)$ が成り立つ。$n=1$ の場合も、$a_2=0$、$\displaystyle b_2=\frac3{64}$ なので $$\displaystyle f_3(x)=\cos x\left(\sin x\,a_2-b_2\right)=-\frac3{64}\cos x=-\frac3{64}f_1(x).$$ よって $\displaystyle f_{n+2}=-\frac3{64}f_n$ はすべての正の整数 $n$ で成り立つ。奇数番目は $f_1=\cos x$ から、偶数番目は上で求めた $f_2$ から繰り返し適用すると $$\displaystyle f_n(x)=\left(-\frac3{64}\right)^{(n-1)/2}\cos x\quad(n\text{ は奇数}),$$ $$\displaystyle f_n(x)=\left(-\frac3{64}\right)^{n/2-1}\left(\frac{\sqrt3}{4}\sin2x-\frac38\cos x\right)\quad(n\text{ は偶数}).$$ したがって選択肢は奇数の場合が $\displaystyle \frac{n-1}{2}$（⑤）、偶数の場合が $\displaystyle \frac n2-1$（④）である。