3獨協医科大学 2023年 1日目 数学 第3問解答・解説

$H$ は平行四辺形の対角線の交点なので、$AC$ と $BD$ の中点である。位置ベクトルを $\boldsymbol h=\overrightarrow{OH}$ とし、$\boldsymbol u=\overrightarrow{HA}$、$\boldsymbol v=\overrightarrow{HB}$ と置くと $$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol h+\boldsymbol u,\quad \overrightarrow{OC}=\boldsymbol h-\boldsymbol u,\quad \overrightarrow{OB}=\boldsymbol h+\boldsymbol v,\quad \overrightarrow{OD}=\boldsymbol h-\boldsymbol v.$$ $\boldsymbol h$ は底面に垂直で、$\boldsymbol u,\boldsymbol v$ は底面内にあるから $\boldsymbol h\cdot\boldsymbol u=\boldsymbol h\cdot\boldsymbol v=0$。また $\displaystyle |\boldsymbol u|=\frac{\sqrt{61}}2$、$\displaystyle |\boldsymbol v|=\frac{\sqrt{21}}2$ である。

与えられた内積から $$\displaystyle |\boldsymbol h|^2-|\boldsymbol u|^2=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=-\frac12,$$ したがって $\displaystyle |\boldsymbol h|^2=\frac{59}{4}$。また $$\displaystyle |\boldsymbol h|^2+\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{25}{2}$$ より $\displaystyle \boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=-\frac94$。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} |OA|^2&=|\boldsymbol h|^2+|\boldsymbol u|^2=\frac{59+61}{4}=30,\\ |OB|^2&=|\boldsymbol h|^2+|\boldsymbol v|^2=\frac{59+21}{4}=20,\\ \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}&=|\boldsymbol h|^2-\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=\frac{59+9}{4}=17. \end{aligned}$$ よって $OA=\sqrt{30}$、$OB=2\sqrt5$ である（なお $\displaystyle \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}=\frac{59-21}{4}=\frac{19}{2}$ となり、与条件とも一致する）。

(1) $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol v-\boldsymbol u$、$\overrightarrow{BC}=-\boldsymbol u-\boldsymbol v$ だから $$AB^2=|\boldsymbol u|^2+|\boldsymbol v|^2-2\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=25, \qquad BC^2=|\boldsymbol u|^2+|\boldsymbol v|^2+2\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=16.$$ したがって $AB=5$、$BC=4$。

対角線ベクトルは $\overrightarrow{AC}=-2\boldsymbol u$、$\overrightarrow{BD}=-2\boldsymbol v$ なので、そのなす角を $\theta$ とすると $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}}{AC\,BD} =\frac{-9}{\sqrt{61}\sqrt{21}}.$$ 平行四辺形の面積は対角線を用いて $\displaystyle S=\frac12 AC\,BD\sin\theta$ だから $$\displaystyle S=\frac12\sqrt{61\cdot21}\sqrt{1-\frac{81}{61\cdot21}} =\frac12\sqrt{1200}=10\sqrt3.$$

(2) 以下、$A,B,C,D$ はそれぞれの位置ベクトルを表す。平行四辺形より $D=A+C-B$。したがって $$\displaystyle P=\frac12A,\qquad Q=\frac34B,\qquad R=\frac14(A+C-B).$$ 平面 $PQR$ 上の点を $P+s(Q-P)+t(R-P)$ とおく。これが直線 $OC$ 上にあるには $A,B$ の係数がともに $0$ であるから $$\displaystyle \frac12-\frac{s}{2}-\frac{t}{4}=0,\qquad \frac{3s}{4}-\frac{t}{4}=0.$$ これを解くと $\displaystyle s=\frac25$、$\displaystyle t=\frac65$ となり、$C$ の係数は $\displaystyle \frac{t}{4}=\frac3{10}$。ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{OT}=\frac3{10}\overrightarrow{OC}.$$

$U$ を $PT$ 上で $P+\lambda(T-P)$ と表すと $$\displaystyle U=\frac{1-\lambda}{2}A+\frac{3\lambda}{10}C.$$ 一方、$QR$ 上の点は $Q+\mu(R-Q)$ と表せ、その $A,C$ の係数はともに $\displaystyle \frac\mu4$ である。係数を比較して $\displaystyle \frac{1-\lambda}{2}=\frac{3\lambda}{10}$ より $\displaystyle \lambda=\frac58$、さらに $\displaystyle \mu=\frac34$ を得る。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OU}=\frac3{16}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}).$$

最後に $\displaystyle U=\frac3{16}(A+C)$、$D=A+C-B$ を用いる。先に得た内積から $$\displaystyle |A+C|^2=30+30+2\left(-\frac12\right)=59, \qquad (A+C)\cdot B=\frac{25}{2}+17=\frac{59}{2}.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} w_1=\overrightarrow{UO}\cdot\overrightarrow{UD} &=-\frac3{16}(A+C)\cdot\left(\frac{13}{16}(A+C)-B\right)\\ &=-\frac3{16}\left(\frac{13}{16}\cdot59-\frac{59}{2}\right)=-\frac{885}{256}. \end{aligned}$$ また $\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac12(A+C)$ なので $$\displaystyle w_2=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OA} =\frac12\left(30-\frac12\right)=\frac{59}{4}.$$ よって $$\displaystyle \frac{w_1}{w_2}=\frac{-885/256}{59/4}=-\frac{15}{64}.$$