2宮崎大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) $x=y,z=1$ を代入すると $(x+1)(1-e^{-x})=0$。よって $x=-1,0$。

(2) $t=e^x>0$ とおけば $t+t^{-1}=4$、したがって $t=2\pm\sqrt3$。 $a=\log(2+\sqrt3)$ とおくと、求める値は $x=\pm a$ である。

(3) $A=x+z,B=y+z$ とおく。$A=0$ なら第1式から $B=0$ となり $x=y$ に反する。$B=0$ も同様なので、両式の積を $AB$ で割れる。 $e^{-(x+y)}=1$ より $y=-x$。これを第1式に戻すと $$z(e^x-1)=x(e^x+1).$$ $x=\pm a\ne0$ であり、$e^a=2+\sqrt3$ だから $$\displaystyle \frac{e^a+1}{e^a-1}=\sqrt3,\qquad \frac{e^{-a}+1}{e^{-a}-1}=-\sqrt3.$$ したがって、求める組は $$(x,y,z)=(a,-a,\sqrt3a),\quad(-a,a,\sqrt3a).$$ いずれも元の2式と追加条件を満たす。