5宮崎大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1) $\{1,2,\ldots,n+1\}$ から $k$ 個を選ぶ方法を、$n+1$ を選ばない場合と選ぶ場合に分ける。前者は $\displaystyle \binom nk$ 通り、後者は残りの $n$ 個から $k-1$ 個を選ぶので $\displaystyle \binom n{k-1}$ 通りである。両場合は重ならず、すべての選び方を尽くすから $$\displaystyle \boxed{\binom{n+1}{k}=\binom nk+\binom n{k-1}} \qquad(k=1,2,\ldots,n).$$

(2) 二項定理を $(1-1)^{n+1}$ に用いると $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n+1}(-1)^k\binom{n+1}{k} =(1-1)^{n+1}=0.$$ よって求める等式が成り立つ。

(3) 二項定理により $$\displaystyle 1-(1-x)^n=\sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\binom nk x^k.$$ 両辺を $x$ で割ると $$\displaystyle \frac{1-(1-x)^n}{x} =\sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\binom nk x^{k-1}.$$ また、左辺は有限等比和として $$\displaystyle \frac{1-(1-x)^n}{x}=1+(1-x)+(1-x)^2+\cdots+(1-x)^{n-1}.$$ これらを $0$ から $1$ まで積分する。右辺を項別に積分すると $$\displaystyle \int_0^1\sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\binom nk x^{k-1}\,dx =\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\binom nk.$$ 一方、有限和の表示から $$\displaystyle \int_0^1\bigl(1+(1-x)+\cdots+(1-x)^{n-1}\bigr)\,dx =\sum\limits _{j=0}^{n-1}\frac1{j+1} =1+\frac12+\cdots+\frac1n.$$ 両式は同じ積分を表すので $$\displaystyle \boxed{1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n =\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\binom nk}.$$