4宮崎大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) 媒介変数表示を微分すると $$x'=-e^{-\theta}(\cos\theta+\sin\theta)<0,\qquad y'=e^{-\theta}(\cos\theta-\sin\theta).$$ したがって水平接線は $y'=0$、つまり $\theta=\pi/4$ のときである。このとき $$\displaystyle A=\left(\frac{e^{-\pi/4}}{\sqrt2},\frac{e^{-\pi/4}}{\sqrt2}\right).$$ (2) $$\displaystyle J-I=\int_0^{\pi/2}e^{-t}(\cos t-\sin t)\,dt =\left[e^{-t}\sin t\right]_0^{\pi/2}=e^{-\pi/2},$$ ここで $(e^{-t}\sin t)'=e^{-t}(\cos t-\sin t)$ を使った。 (3) $a=e^{-\pi/4}/\sqrt2$、$H=(a,0)$、$B=(1,0)$ とする。直線OAは $y=x$ で、曲線との交点はA。領域を三角形OAHと弧ABの下側に分ける。三角形の面積は $a^2/2=e^{-\pi/2}/4$。 弧ABの下側の面積を $S_1$ とすると、$x'<0$ に注意して $$\displaystyle S_1=\int_a^1y\,dx =\int_0^{\pi/4}e^{-2\theta}\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta.$$ 二倍角の公式と $t=2\theta$ を用いると $$\displaystyle S_1=\frac14\int_0^{\pi/2}e^{-t}(1-\cos t+\sin t)\,dt =\frac14(1-e^{-\pi/2}-J+I) =\frac{1-2e^{-\pi/2}}4.$$ よって $$\displaystyle S=\frac{e^{-\pi/2}}4+S_1=\frac{1-e^{-\pi/2}}4.$$