2札幌医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$u=(\cos\theta,\sin\theta)$、$v=(-\sin\theta,\cos\theta)$ とおくと、これらは互いに垂直な単位ベクトルである。Aはℓ上でx座標が正だから $A=\lambda u\ (\lambda>0)$。楕円に代入すると $$\displaystyle \lambda^2\left(\frac{\cos^2\theta}{2}+\frac{\sin^2\theta}{3}\right)=1,$$ よって $\lambda=\sqrt{6/(2+\cos^2\theta)}$。同様にBはm上でy座標が正なので $B=\mu v\ (\mu>0)$。楕円に代入して $\mu=\sqrt{6/(3-\cos^2\theta)}$。したがって(1)の座標を得る。

楕円は原点対称なので $C=-A$、$D=-B$。四角形ABCDの対角線ACとBDは直交し、長さはそれぞれ $2\lambda,2\mu$。従って $$\displaystyle S=\frac{(2\lambda)(2\mu)}2=2\lambda\mu=\frac{12}{\sqrt{(2+\cos^2\theta)(3-\cos^2\theta)}}.$$ $z=\cos2\theta$ とおくと、$(2+\cos^2\theta)(3-\cos^2\theta)=6+\cos^2\theta\sin^2\theta=(25-z^2)/4$。よって $$\displaystyle S=\frac{24}{\sqrt{25-\cos^2 2\theta}}.$$ 区間 $0\le\theta<\pi/2$ で $0\le\cos^2 2\theta\le1$。面積式はこの値が大きいほど大きいので、最大は $\cos^2 2\theta=1$ となる $\theta=0$ で $2\sqrt6$、最小は $\cos2\theta=0$ となる $\theta=\pi/4$ で $24/5$。